Question

19．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足a₁=1，nS_n+1-（n+1）S_n=$\frac{{n（{n+1}）}}{2}$，n∈N^*．
（1）求a₂的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）是否存在正整數(shù)k，使a_k，S_2k，a_4k成等比數(shù)列？若存在，求k的值； 若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由滿足a₁=1，nS_n+1-（n+1）S_n=$\frac{{n（{n+1}）}}{2}$，n∈N^*．令n=1即可得出．
（2）解法1：由$n{S_{n+1}}-（{n+1}）{S_n}=\frac{{n（{n+1}）}}{2}$，得$\frac{{{S_{n+1}}}}{n+1}-\frac{S_n}{n}=\frac{1}{2}$．利用等差數(shù)列的通項公式及其遞推式即可得出；
解法2：由$n{S_{n+1}}-（{n+1}）{S_n}=\frac{{n（{n+1}）}}{2}$，得$n（{{S_{n+1}}-{S_n}}）-{S_n}=\frac{{n（{n+1}）}}{2}$，可得$n{a_{n+1}}-{S_n}=\frac{{n（{n+1}）}}{2}$．　再利用遞推式即可得出．
（3）由（2）知a_n=n，${S_n}=\frac{{n（{n+1}）}}{2}$．假設(shè)存在正整數(shù)k，使a_k，S_2k，a_4k成等比數(shù)列，可得$S_{2k}^2={a_k}•{a_{4k}}$．即${[{\frac{{2k（{2k+1}）}}{2}}]^2}=k•4k$．解出即可判斷出．

解答 （1）解：∵a₁=1，$n{S_{n+1}}-（{n+1}）{S_n}=\frac{{n（{n+1}）}}{2}$，
∴${S_2}-2{S_1}=\frac{1×2}{2}=1$．
∴S₂=1+2S₁=1+2a₁=3．
∴a₂=S₂-a₁=2．
（2）解法1：由$n{S_{n+1}}-（{n+1}）{S_n}=\frac{{n（{n+1}）}}{2}$，得$\frac{{{S_{n+1}}}}{n+1}-\frac{S_n}{n}=\frac{1}{2}$．
∴數(shù)列$\left\{{\frac{S_n}{n}}\right\}$是首項為$\frac{S_1}{1}=1$，公差為$\frac{1}{2}$的等差數(shù)列．
∴$\frac{S_n}{n}=1+\frac{1}{2}（{n-1}）=\frac{1}{2}（{n+1}）$．
∴${S_n}=\frac{{n（{n+1}）}}{2}$．
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1…（5分）=$\frac{{n（{n+1}）}}{2}-\frac{{（{n-1}）n}}{2}$=n．
而a₁=1適合上式，
∴a_n=n．
解法2：由$n{S_{n+1}}-（{n+1}）{S_n}=\frac{{n（{n+1}）}}{2}$，得$n（{{S_{n+1}}-{S_n}}）-{S_n}=\frac{{n（{n+1}）}}{2}$，
∴$n{a_{n+1}}-{S_n}=\frac{{n（{n+1}）}}{2}$．�、�
當(dāng)n≥2時，$（{n-1}）{a_n}-{S_{n-1}}=\frac{{n（{n-1}）}}{2}$，②
①-②得$n{a_{n+1}}-（{n-1}）{a_n}-（{{S_n}-{S_{n-1}}}）=\frac{{n（{n+1}）}}{2}-\frac{{n（{n-1}）}}{2}$，
∴na_n+1-na_n=n．              
∴a_n+1-a_n=1．　　　　　　　
∴數(shù)列{a_n}從第2項開始是以a₂=2為首項，公差為1的等差數(shù)列．
∴a_n=2+（n-2）=n．
而a₁=1適合上式，
∴a_n=n．
（3）由（2）知a_n=n，${S_n}=\frac{{n（{n+1}）}}{2}$．
假設(shè)存在正整數(shù)k，使a_k，S_2k，a_4k成等比數(shù)列，
則$S_{2k}^2={a_k}•{a_{4k}}$．
即${[{\frac{{2k（{2k+1}）}}{2}}]^2}=k•4k$．
∵k為正整數(shù)，
∴（2k+1）²=4．
得2k+1=2或2k+1=-2，
解得$k=\frac{1}{2}$或$k=-\frac{3}{2}$，與k為正整數(shù)矛盾．
∴不存在正整數(shù)k，使a_k，S_2k，a_4k成等比數(shù)列．

點評 本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式、遞推式的應(yīng)用等知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及運算求解能力和創(chuàng)新意識，屬于中檔題．