Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}-ax+1}$（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…）．
（1）當a=0時，求函數(shù)y=f（x）的圖象在點x=0處的切線方程；
（2）當a∈（0，2）時，試求函數(shù)f（x）的極值；
（3）若a∈[0，$\frac{1}{2}$]，則當x∈[0，a+1]時，函數(shù)y=f（x）的圖象是否總在不等式y(tǒng)＞x所表示的平面區(qū)域內(nèi)，請寫出判斷過程．

Answer 1

分析 （1）a=0時求出f（x），f′（x），從而求得f（0），f′（0），也就是求出了切點和切線的斜率，從而根據(jù)點斜式方程寫出切線方程即可；
（2）求出f′（x），根據(jù)a的范圍，判斷導數(shù)符號，根據(jù)極值的概念便可得出f（x）的極值；
（3）根據(jù)（2）便可寫出f（x）在[0，a+1]上的單調(diào)性，可畫出f（x）及y=x的大致圖象，根據(jù)圖象可以看出要使f（x）的圖象在y＞x表示的區(qū)域，只需f（a+1）＞a+1，即f（a+1）-a-1＞0恒成立．可設g（a）=$\frac{{e}^{a+1}}{a+2}-a-1$，通過求g′（a），g″（a），便可判斷g（a）在[0，$\frac{1}{2}$]上單調(diào)遞增，從而得出g（a）＞0成立，從而得出函數(shù)y=f（x）的圖象總在不等式y(tǒng)＞x所表示的平面區(qū)域內(nèi)．

解答 解：（1）a=0時，f（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}+1}$，$f′（x）=\frac{{e}^{x}（x-1）^{2}}{（{x}^{2}+1）^{2}}$；
∴f′（0）=1，又f（0）=1；
∴所求切線方程的斜率為1，切點為（0，1）；
∴f（x）在x=0處切線方程為y-1=x，即y=x+1；
（2）$f′（x）=\frac{{e}^{x}[{x}^{2}-（a+2）x+a+1]}{（{x}^{2}-ax+1）^{2}}$=$\frac{{e}^{x}（x-1）[x-（a+1）]}{（{x}^{2}-ax+1）^{2}}$；
∵a∈（0，2），∴x²-ax+1＞0恒成立，且1＜a+1；
∴x∈（-∞，1）時，f′（x）＞0，x∈（1，a+1）時，f′（x）＜0，x∈（a+1，+∞）時，f′（x）＞0；
∴x=1時，f（x）取得極大值$\frac{e}{2-a}$，x=a+1時，f（x）取得極小值$\frac{{e}^{a+1}}{a+2}$；
（3）由（2）知，x∈[0，1）時，f′（x）＞0；x∈（1，a+1），f′（x）＜0；
∴f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，在（1，a+1]上單調(diào)遞減，f（1）=$\frac{e}{2-a}$是f（x）在[0，a+1]上的最大值；
假設函數(shù)y=f（x）的圖象總在不等式y(tǒng)＞x所表示的平面區(qū)域內(nèi)，則f（x）及y=x的大致圖象如下所示：
∴只需f（a+1）＞a+1即可；
即$\frac{{e}^{a+1}}{a+2}-a-1＞0$在a∈$[0，\frac{1}{2}]$上恒成立，設g（a）=$\frac{{e}^{a+1}}{a+2}-a-1$；
$g′（a）=\frac{{e}^{a+1}（a+1）}{（a+2）^{2}}-1$，g″（a）=$\frac{{e}^{a+1}（a+2）（{a}^{2}+2a+2）}{（a+2）^{4}}$＞0；
∴g′（a）在[0，$\frac{1}{2}$]上單調(diào)遞增；
∴$g′（a）≥g′（0）=\frac{e}{4}＞0$；
∴g（a）在[0，$\frac{1}{2}$]上單調(diào)遞增；
∴$g（a）≥g（0）=\frac{e}{2}-1＞0$；
即g（a）＞0成立；
即f（a+1）＞a+1成立；
∴函數(shù)y=f（x）的圖象總在不等式y(tǒng)＞x所表示的平面區(qū)域內(nèi)．

點評 考查根據(jù)導數(shù)求過曲線上一點切線方程的方法與過程，知道切線的斜率為函數(shù)在切點處的導數(shù)，直線的點斜式方程，函數(shù)極值的定義及求法．能找出y＞x表示的平面區(qū)域，以及數(shù)形結合解題的方法，根據(jù)函數(shù)導數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，以及單調(diào)性定義的運用，注意正確求導．