Question

2．已知x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}x-y≥0\\ 2x-y-1≤0\end{array}$，當目標函數(shù)z=$\sqrt{3}$ax+by（{a＞0，b＞0}）在該約束條件下取得最大值4時，a²+b²的最小值為（　　）

• A． 8
• B． 4
• C． $\frac{{8\sqrt{3}}}{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃求出最優(yōu)解，結(jié)合點到直線的距離公式進行求解即可．

解答 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
由z=$\sqrt{3}$ax+by得y=-$\frac{\sqrt{3}a}$x+$\frac{z}$，
∵a＞0，b＞0，
∴目標函數(shù)的斜率k=-$\frac{\sqrt{3}a}$x＜0，
平移直線y=-$\frac{\sqrt{3}a}$x+$\frac{z}$，
由圖象知當直線y=-$\frac{\sqrt{3}a}$x+$\frac{z}$經(jīng)過點A時，直線的截距最大，此時z最大為4，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{2x-y-1=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，即A（1，1），
此時$\sqrt{3}$a+b=4，
a²+b²的幾何意義為直線$\sqrt{3}$a+b=4上的點到原點的距離的平方，
原點到直線$\sqrt{3}$a+b=4的距離d=$\frac{|4|}{\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+1}}=\frac{4}{2}=2$，
則a²+b²的最小值為d²=4，
故選：B．

點評 本題考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，訓(xùn)練了點到直線的距離公式的應(yīng)用，是中檔題．