Question

13．若不等式f（x）≤0的解集為區(qū)間[a，b]（a＜b），那么稱I=b-a為不等式f（x）≤0的解集長(zhǎng)度，已知函數(shù)f（x）=mx²+（m²-m-2）x+2（1-m）（m＞0）．
（1）當(dāng)m=3時(shí)，求不等式f（x）≤0的解集長(zhǎng)度；
（2）若不等式f（x）≤0的解集長(zhǎng)度不小于2，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)m=3時(shí)，解不等式f（x）=3x²+4x-4≤0，可得不等式f（x）≤0的解集長(zhǎng)度；
（2）若不等式f（x）≤0的解集長(zhǎng)度不小于2，$\frac{\sqrt{△}}{m}$=$\frac{{m}^{2}-m+2}{m}$=m+$\frac{2}{m}$-1≥2，解得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)m=3時(shí)，解不等式f（x）=3x²+4x-4≤0得：
x∈[-2，$\frac{2}{3}$]，
故不等式f（x）≤0的解集長(zhǎng)度為$\frac{8}{3}$，
（2）∵函數(shù)f（x）=mx²+（m²-m-2）x+2（1-m）=0的△=（m²-m-2）²-8m（1-m）=（m²-m+2）²＞0恒成立，
故若不等式f（x）≤0的解集長(zhǎng)度不小于2，
則$\frac{\sqrt{△}}{m}$=$\frac{{m}^{2}-m+2}{m}$=m+$\frac{2}{m}$-1≥2，
解得：m∈（0，1）∪（2，+∞）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)韋達(dá)定理的推論2及解集長(zhǎng)度的定義，得到解集長(zhǎng)度=$\frac{\sqrt{△}}{\left|a\right|}$，是解答的關(guān)鍵．