Question

1．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c．
（1）若a＞b＞c，且f（1）=0，證明f（x）的圖象與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；
（2）在（1）的條件下，是否存在m∈R，使得f（m）＜0與f（m+3）＞0同時(shí)成立，若存在，證明你的結(jié)論，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件可判斷出a＞0，c＜0，從而判別式△＞0，這樣便可得出f（x）的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）根據(jù)題意，只需判斷關(guān)于m的不等式組$\left\{\begin{array}{l}{f（m）＜0}\\{f（m+3）＞0}\end{array}\right.$是否有解，有解則說(shuō)明存在m∈R，使得f（m）＜0與f（m+3）＞0同時(shí)成立，否則不存在．

解答 解：（1）f（1）=0；
∴a+b+c=0；
∴a＞0，c＜0；
∴對(duì)于二次函數(shù)f（x），△=b²-4ac＞0；
∴f（x）的圖象和x軸有2個(gè)交點(diǎn)；
（2）令f（m）=am²+bm+c=am²+bm-（a+b）＜0①；
f（m+3）=a（m+3）²+b（m+3）+c=am²+（b+6a）m+2b+8a＞0②；
①②都是關(guān)于m的一元二次不等式；
解①得，$\frac{-a-b}{a}＜x＜1$，解②得，$x＜\frac{-b-4a}{a}，或x＞-2$；
$\frac{-a-b}{a}=\frac{c}{a}＜0$；
∴不等式①②有公共解；
即存在m∈R，使得f（m）＜0與f（m+3）＞0同時(shí)成立．

點(diǎn)評(píng) 考查二次函數(shù)的圖象和x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)和判別式△的關(guān)系，解一元二次不等式，以及利用求根公式解一元二次方程．