Question

6．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$．
（1）若sin$\frac{3π}{4}$sinφ-cos$\frac{π}{4}$cosφ=0，求φ的值；
（2）在（1）的條件下，函數(shù)f（x）圖象相鄰兩對稱軸之間的距離為$\frac{π}{3}$，求f（x）的解析式；
（3）在（2）條件下，將函數(shù)f（x）左移m個單位后得到偶函數(shù)時，求最小正實數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）利用誘導(dǎo)公式及和角的余弦公式進(jìn)行化簡可求φ的值．
（2）由三角函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)f（x）的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離即為周期的$\frac{1}{2}$T，從而可求T，然后根據(jù)周期公式T=$\frac{2π}{ω}$可求ω，從而可得f（x）的解析式．
（3）函數(shù)的圖象向左平移m個單位后所對應(yīng)的函數(shù)f（x+m）=sin（3x+3m+$\frac{π}{4}$）是偶函數(shù)，可得3×0+3m+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）從而可求m．

解答 解：（1）∵sin$\frac{3π}{4}$sinφ-cos$\frac{π}{4}$cosφ=0，
∴sin$\frac{π}{4}$sinφ-cos$\frac{π}{4}$cosφ=-cos（$\frac{π}{4}$+φ）=0，
∴$\frac{π}{4}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：φ=kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$．
∴φ=$\frac{π}{4}$．
（2）∵由（1）可得f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{4}$）圖象相鄰兩對稱軸之間的距離為$\frac{π}{3}$，ω＞0，
∴$\frac{2π}{ω}$=2×$\frac{π}{3}$，解得：ω=3，
∴f（x）的解析式為：f（x）=sin（3x+$\frac{π}{4}$）．
（3）∵由（2）可得f（x）=sin（3x+$\frac{π}{4}$），將函數(shù)f（x）左移m個單位后得到偶函數(shù)．
∴f（x+m）=sin（3x+3m+$\frac{π}{4}$）是偶函數(shù)，
∴3×0+3m+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），
∴解得：m=$\frac{kπ}{3}$+$\frac{π}{12}$（k∈Z），
∴最小的正實數(shù)m是$\frac{π}{12}$．

點評 本題主要考查了誘導(dǎo)公式及兩角和的余弦公式，考查了由三角函數(shù)的部分圖象的性質(zhì)求解函數(shù)的解析式，還考查了三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．