Question

19．（1）一個袋子中裝有四個形狀大小完全相同的小球，球的編號分別為1，2，3，4，先從袋子中隨機取一個球，該球的編號為m，將球放回袋中，然后再從袋中隨機取一個球，該球的編號為n，求n＜m+2的概率．
（2）設(shè)m，n是區(qū)間[0，1]上隨機取得的兩個數(shù)，求方程x²-$\sqrt{2n}$x+m=0有實根的概率．

Answer 1

分析 （1）有放回的取球，根據(jù)分步計數(shù)原理可知有16種結(jié)果，滿足條件的比較多不好列舉，可以從他的對立事件來做．
（2）關(guān)鍵是要找出（m，n）對應(yīng)圖形的面積，及滿足條件“關(guān)于x的一元二次方程x²-$\sqrt{2n}$x+m=0有實根”的點對應(yīng)的圖形的面積，然后再結(jié)合幾何概型的計算公式進行求解．

解答 解：（1）先從袋中隨機取一個球，記下編號為m，
放回后，再從袋中隨機取一個球，記下編號為n，
其一切可能的結(jié)果（m，n）有：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），
（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），
（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16個．
又滿足條件n≥m+2的事件為：
（1，3），（1，4），（2，4），共3個，
所以滿足條件n≥m+2的事件的概率為P₁=$\frac{3}{16}$．
故滿足條件n＜m+2的事件的概率為1-P₁=1-$\frac{3}{16}$=$\frac{13}{16}$；
（2）試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為{（m，n）|0＜m＜1，0＜n＜1}（圖中矩形所示）．其面積為1．
構(gòu)成事件“關(guān)于x的一元二次方程x²-$\sqrt{2n}$•x+m=0有實根”的區(qū)域為
{{（m，n）|0＜m＜1，0＜n＜1，n≥2m}（如圖陰影所示）．面積為$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1$=$\frac{1}{4}$
所以所求的概率為$\frac{1}{4}$．

點評 本小題主要考查古典概念、對立事件的概率計算，考查幾何概型，考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力．能判斷一個試驗是否是古典概型，分清在一個古典概型中某隨機事件包含的基本事件的個數(shù)和試驗中基本事件的總數(shù)．