Question

6．已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱AA₁=2，求：
（1）求異面直線A₁D與AC所成角的大小；
（2）求四面體A₁-DCA的體積．

Answer 1

分析 （1）由已知中正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁為棱長為2的正方體，結合正方體的幾何特征，我們易得∠ACB₁就是異面直線A₁D與AC所成角，△ACB₁中為等邊三角形，即可得到異面直線A₁D與AC所成角
（2）根據(jù)三棱錐的體積公式進行求解即可．

解答 解：（1）如圖，A₁D∥B₁C，
則∠ACB₁就是異面直線A₁D與AC所成角．
在△ACB₁中，AC=AB₁=B₁C，
則∠ACB₁=60°，
因此異面直線A₁D與AC所成角為60°；
（2）四面體A₁-DCA的體積V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2$=$\frac{4}{3}$．

點評 本題主要考查了直線與平面之間的位置關系，以及幾何體的體積和異面直線所成角等有關知識，考查數(shù)形結合、化歸與轉化的數(shù)學思想方法，空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于中檔題．