Question

16．已知在極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），曲線C₂：ρ=$\frac{1}{sin（θ+45°）}$；
（1）曲線C₁，C₂是否有公共點(diǎn)，為什么？
（2）將曲線C₁向右移動(dòng)m個(gè)單位，使得C₁與C₂是交于A，B兩點(diǎn)，|AB|=$\sqrt{2}$，求m的值．

Answer 1

分析 （1）把曲線C₁的參數(shù)方程、曲線C₂的極坐標(biāo)方程化為普通方程，利用圓心到直線l的距離d與半徑r的關(guān)系，
判斷曲線C₁，C₂的公共點(diǎn)數(shù)；
（2）曲線C₁向右移動(dòng)m個(gè)單位，得到圓的方程，由圓心到直線的距離，求出m的值．

解答 解：（1）把曲線C₁的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)）
化為普通方程是x²+y²=1；
又曲線C₂的極坐標(biāo)方程ρ=$\frac{1}{sin（θ+45°）}$可化為
ρ•（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinθ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosθ）=1，
化為普通方程是$\frac{\sqrt{2}}{2}$y+$\frac{\sqrt{2}}{2}$x=1，
化簡(jiǎn)得x+y-$\sqrt{2}$=0；
所以圓心O（0，0）到直線l的距離為
d=$\frac{|-\sqrt{2}|}{\sqrt{{1}^{2}{+1}^{2}}}$=1=r，
∴直線l與圓O相切，即曲線C₁，C₂有一個(gè)公共點(diǎn)；
（2）將曲線C₁向右移動(dòng)m個(gè)單位，得圓的方程為
（x+m）²+y²=1
C₁與C₂是交于A，B兩點(diǎn)，|AB|=$\sqrt{2}$，
∴圓心（-m，0）到直線x+y-$\sqrt{2}$=0的距離為
d=$\frac{|-m-\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}{-（\frac{\sqrt{2}}{2}）}^{2}}$，
解得m=-$\sqrt{2}$±1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓的應(yīng)用問題，也考查了參數(shù)方程與極坐標(biāo)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．