Question

已知函數(shù)f（x）（x∈R）的圖象如圖所示，則函數(shù)g（x）=f（

x+1

x-1

）的單調遞減區(qū)間是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)單調性的判斷與證明

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：令

x+1

x-1

=t，而函數(shù)f（t）和f（x）是同一個函數(shù)，并且g′（x）=f′（t）•(

x+1

x-1

)′=f′（t）•

-2

(x-1)2

．所以g′（x）＜0時，f′（t）＞0，g（x）的單調減區(qū)間對應著f（t）的單調增區(qū)間．由圖象知道f（t）在[-1，2]上單調遞增，即此時，-1≤t≤2，所以-1≤

x+1

x-1

≤2，解出這個不等式即可得到g（x）的單調遞減區(qū)間．

解答： 解：令

x+1

x-1

=t，則：
g′（x）=f′（t）•(

x+1

x-1

)′=f′（t）•

-2

(x-1)2

，；
∴g′（x）＜0時，f′（t）＞0；
∵f（t）與f（x）是同一個函數(shù)，f′（t）＞0時，f（t）是增函數(shù)；
∴g（x）的減區(qū)間，對應著f（t）的增區(qū)間；
由圖知道f（t）的增區(qū)間是[-1，2]，即-1≤t≤2；
∴-1≤

x+1

x-1

≤2，解得：x≤0，或x＞3；
∴g（x）的單調遞減區(qū)間是（-∞，0]，（3，+∞）．

點評：考查復合函數(shù)的求導，函數(shù)f（g（x））和函數(shù)f（x）單調區(qū)間的關系．