Question

3．試求函數(shù)f（x）=-x²+2ax-3在[1，3]上的最大值g（a）．

Answer 1

分析 將f（x）配方，所以對(duì)稱軸是x=a，所以討論對(duì)稱軸x=a和區(qū)間[1，3]的關(guān)系：有三種關(guān)系：（1）對(duì)稱軸在區(qū)間的右邊，（2）對(duì)稱軸在區(qū)間上，（3）對(duì)稱軸在區(qū)間左邊，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性及頂點(diǎn)求出每種情況下的f（x）的最大值，最小值即可．

解答 解：f（x）=-x²+2ax-3=-（x-a）²-3+a²；
①若a≥3，則函數(shù)f（x）在[1，3]上單調(diào)遞增，
所以：f（x）的最大值為g（a）=f（3）=6a-12，
②若1＜a＜3，f（x）的最大值為g（a）=f（a）=a²-3，
③若a≤1，則f（x）在[1，3]上單調(diào)遞減，
所以：f（x）的最大值為g（a）=f（1）=2a-4，
綜上：g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{6a-12，（a≥3）}\\{{a}^{2}-3，（1＜a＜3）}\\{2a-4，（a≤1）}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 考查根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性及取得頂點(diǎn)的情況求二次函數(shù)最值的方法，以及二次函數(shù)單調(diào)性和對(duì)稱軸的關(guān)系．