Question

17．|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=1，且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，設(shè)$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$的夾角為θ，試求tanθ的值．

Answer 1

分析 根據(jù)兩個向量垂直寫出兩個向量的數(shù)量積為0，整理出要的結(jié)果是兩個向量的數(shù)量積是1，這兩個向量的夾角的余弦就可以通過用兩個向量的數(shù)量積除以兩個向量的模長的積表示．根據(jù)角的范圍得到結(jié)果．

解答 解：|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=1，且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，設(shè)$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$的夾角為θ，不妨設(shè)$\overrightarrow{a}$=（2，0），$\overrightarrow$=（0，1）．
$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow$=（2，-4），$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$=（2，2）．
則cosθ=$\frac{（\overrightarrow{a}-4\overrightarrow）•（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）}{|\overrightarrow{a}-4\overrightarrow||\overrightarrow{a}+2\overrightarrow|}$=$\frac{4-8}{\sqrt{{2}^{2}+{（-4）}^{2}}•\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}}$=$\frac{-4}{4\sqrt{10}}$=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
sinθ=$\sqrt{1-{cos}^{2}θ}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
tanθ=$\frac{\frac{3\sqrt{10}}{10}}{-\frac{\sqrt{10}}{10}}$=-3．

點評 本題考查兩個向量的數(shù)量積來表示兩個向量的夾角，解決本題要注意的是求出兩個向量的夾角的余弦值以后，注意寫出夾角的范圍，從而得到結(jié)果．