Question

13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A（-$\frac{1}{2}$，0），B（$\frac{3}{2}$，0），銳角α的終邊與單位圓O交于點P．
（Ⅰ）用α的三角函數(shù)表示點P的坐標(biāo)；
（Ⅱ）當(dāng)$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=-$\frac{1}{4}$時，求α的值；
（Ⅲ）在x軸上是否存在定點M，使得|$\overrightarrow{AP}$|=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{MP}$|恒成立？若存在，求出點M的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）用α的三角函數(shù)的坐標(biāo)法定義得到P 坐標(biāo)；
（Ⅱ）首先寫成兩個向量的坐標(biāo)根據(jù)$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=-$\frac{1}{4}$，得到關(guān)于α的三角函數(shù)等式，求α的值；
（Ⅲ）假設(shè)存在M（x，0），進(jìn)行向量的模長運算，得到三角等式，求得成立的x值．

解答 解：銳角α的終邊與單位圓O交于點P．
（Ⅰ）用α的三角函數(shù)表示點P的坐標(biāo)為（cosα，sinα）；
（Ⅱ）$\overrightarrow{AP}=（cosα+\frac{1}{2}，sinα）$，$\overrightarrow{BP}=（cosα-\frac{3}{2}，sinα）$，$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=-$\frac{1}{4}$時，
即（cos$α+\frac{1}{2}$）（cos$α-\frac{3}{2}$）+sin²α=$\frac{-1}{4}$，整理得到cos$α=\frac{1}{2}$，所以銳角α=60°；
（Ⅲ）在x軸上假設(shè)存在定點M，設(shè)M（x，0），$\overrightarrow{MP}=（cosα-x，sinα）$，
則由|$\overrightarrow{AP}$|=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{MP}$|恒成立，得到$\frac{5}{4}+cosα$=$\frac{1}{4}（1-2xcosα+{x}^{2}）$，整理得2cosα（2+x）=x²-4，
所以存在x=-2時等式恒成立，所以存在M（-2，0）．

點評 本題考查了三角函數(shù)的坐標(biāo)法定義的運用以及平面向量的運算；關(guān)鍵是正確利用坐標(biāo)表示各向量，并正確化簡運算．