Question

設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=lnx-ax
（1）若a=2，求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；
（2）若a＜

2

e2

，試判斷函數(shù)f（x）在x∈（1，e²）的零點個數(shù)，并說明理由；
（3）若f（x）有兩個相異零點x₁，x₂，求證：x₁•x₂＞e²．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,函數(shù)零點的判定定理,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：先求導(dǎo)．
對第（1）問，將a的值代入，得切線的斜率，接著求切點，利用點斜式得切線方程；
對第（2）問，考慮方程f（x）=0，將參數(shù)a分離，將零點問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象交點問題，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而由兩函數(shù)圖象的位置關(guān)系確定零點個數(shù)；
對第（3）問，根據(jù)已知，將求證式進(jìn)行等價轉(zhuǎn)換，最后通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性達(dá)到證明的目的．

解答： （1）解：當(dāng)a=2時，f（x）=lnx-2x，
f′(x)=

1

x

-2．
f（1）=-2，f′（1）=-1．
∴曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為y+2=-1×（x-1）．
即x+y+1=0；
（2）由f（x）=lnx-ax，
由f（x）=0，得a=

lnx

x

，
函數(shù)f（x）在x∈（1，e²）的零點個數(shù)等價于函數(shù)y=a的圖象與函數(shù)y=

lnx

x

的圖象的交點個數(shù)，
令g（x）=

lnx

x

，則g′（x）=

1-lnx

x2

，
由g'（x）=0，得x=e，
在區(qū)間（1，e）上，g'（x）＞0，則函數(shù)g（x）是增函數(shù)，
∴g（1）＜g（x）＜g（e），即0＜g（x）＜

1

e

；
在區(qū)間（e，e²）上，g'（x）＜0，則函數(shù)g（x）是減函數(shù)，
∴g（e²）＜g（x）＜g（e），即

2

e2

＜g（x）＜

1

e

．
∵a＜

2

e2

，∴當(dāng)a≤0時，f（x）在x∈（1，e²）沒有零點；
當(dāng)0＜a＜

2

e2

時，函數(shù)f（x）有且只有一個零點．
（3）原不等式x₁•x₂＞e²?lnx₁+lnx₂＞2．
不妨設(shè)x₁＞x₂＞0，
∵f（x₁）=0，f（x₂）=0，
∴l(xiāng)nx₁-ax₁=0，lnx₂-ax₂=0，
∴l(xiāng)nx₁+lnx₂=a（x₁+x₂），lnx₁-lnx₂=a（x₁-x₂），
∴a（x₁+x₂）＞2?

lnx1-lnx2

x1-x2

＞

2

x1+x2

?ln

x1

x2

＞

2(x1-x2)

x1+x2

．                                                          
令

x1

x2

=t，則t＞1，
于是ln

x1

x2

＞

2(x1-x2)

x1+x2

?lnt＞

2(t-1)

t+1

．
設(shè)函數(shù)h（t）=lnt-

2(t-1)

t+1

（t＞1），
則h′（t）=

1

t

-

4

(t+1)2

=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0，
故函數(shù)h（t）在（1，+∞）上為增函數(shù)，
∴h（t）＞h（1）=0，
即不等式lnt＞

2(t-1)

t+1

成立，
故所證不等式x₁•x₂＞e²成立．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，考查了分類討論的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是壓軸題．