Question

已知f（x）=e^x-1-x-ax²．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；
（2）若對(duì)?x≥0，恒有f（x）≥0，求a的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）將a=0代入并求導(dǎo)，分析定義域各區(qū)間上導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，進(jìn)而根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)與原函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，可得結(jié)論．
（2）先證明e^x≥1+x可得不等式f′（x）≥x-2ax=（1-2a）x，從而可知當(dāng)1-2a≥0，即a≤

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時(shí)，f′（x）≥0判斷出函數(shù)f（x）的單調(diào)性，得到答案．

解答： 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=e^x-1-x，
f′（x）=e^x-1，
∵當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)，在（0，+∞）上為增函數(shù)；
（2）令g（x）=e^x-1-x，g′（x）=e^x-1．
當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，g′（x）＜0；當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，g'（x）＞0．
故g（x）在（-∞，0）單調(diào)減少，在（0，+∞）單調(diào)增加．
∴g（x）≥g（0）=0，
∴e^x≥1+x，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立．
∵f′（x）=e^x-1-2ax，
∴f′（x）≥x-2ax=（1-2a）x，
從而當(dāng)1-2a≥0，即a≤

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時(shí)，f′（x）≥0（x≥0），而f（0）=0，
于是當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥0．
由e^x＞1+x（x≠0）可得e^-x＞1-x（x≠0）．
從而當(dāng)a＞

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時(shí)，f′（x）＜e^x-1+2a（e^-x-1）=e^-x（e^x-1）（e^x-2a），
故當(dāng)x∈（0，ln2a）時(shí)，f′（x）＜0，而f（0）=0，于是當(dāng)x∈（0，ln2a）時(shí)，f（x）＜0．
綜合得a的取值范圍為（-∞，

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2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，是導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，運(yùn)算量大，綜合性性，轉(zhuǎn)化困難，屬于難題．