Question

已知函數(shù)f（x）=log₂（k•2^x+1-2），k∈R．
（1）當k=1時，求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）當k=3是，求函數(shù)f（x）的零點；
（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，10]上總有意義，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）當k=1時，f（x）=log₂（2^x+1-2），從而得到2^x+1-2＞0，從而求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）當k=3時，f（x）=log₂（3•2^x+1-2），則3•2^x+1-2=1解出函數(shù)f（x）的零點；
（3）由函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，10]上總有意義可得k•2^x+1-2＞0[0，10]上恒成立，從而求解．

解答： 解：（1）當k=1時，
故2^x+1-2＞0，
解得，x＞0，
即函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）；
（2）當k=3時，f（x）=log₂（3•2^x+1-2），
令3•2^x+1-2=1解得，
x=0，
故函數(shù)f（x）的零點為0；
（3）∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，10]上總有意義，
∴k•2^x+1-2＞0[0，10]上恒成立，
∴

2k-2＞0 k•211-2＞0

，
故k的取值范圍為（1，+∞）．

點評：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)應用，屬于基礎(chǔ)題．