Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)（n，

Sn

n

）在直線y=x+4上．?dāng)?shù)列{b_n}滿足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N^*），且b₄=8，前11項(xiàng)和為154．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列d_n=2ⁿ an，求數(shù)列{d_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（3）設(shè)c_n=

3

2(an-2)(2bn+5)

，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求使不等式T_n＞

k

75

對(duì)一切n∈N^*都成立的最大正整數(shù)k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件得S_n=n²+4n，由此能求出a_n=2n+3．由此條件得{b_n}是等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式求出b₁=-1，d=3，由此能求出b_n=3n-4．
（2）由d_n=2ⁿ an=（2n+3）•2ⁿ，利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{d_n}的前n項(xiàng)和T_n．
（3）由c_n=

3

2(an-2)(2bn+5)

=

1

2(2n+1)(2n-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1

，利用裂項(xiàng)求和法能求出使不等式T_n＞

k

75

對(duì)一切n∈N^*都成立的最大正整數(shù)k的值是49．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)（n，

Sn

n

）在直線y=x+4上，
∴

Sn

n

=n+4，∴S_n=n²+4n，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1+4=5，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（n²+4n）-[（n-1）²+4（n-1）]=2n+3，
n=1時(shí)也成立，
∴a_n=2n+3．
數(shù)列{b_n}滿足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N^*），且b₄=8，前11項(xiàng)和為154，
∴{b_n}是等差數(shù)列，且

b   1 +3d=8 11b1+ 11×10 2 d=154

，
解得b₁=-1，d=3，
∴b_n=-1+3（n-1）=3n-4．
（2）d_n=2ⁿ an=（2n+3）•2ⁿ，
∴T_n=5•2+7•2²+9•2³+…+（2n+3）•2ⁿ，①
2T_n=5•2²+7•2³+9•2⁴+…+（2n+3）•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得：-T_n=10+2³+2⁴+2⁵+…+2ⁿ⁺¹-（2n+3）•2ⁿ⁺¹
=10+

8(1-2n-1)

1-2

-（2n+3）•2ⁿ⁺¹
=2-（2n+1）•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（2n+1）•2ⁿ⁺¹-2．
（3）c_n=

3

2(an-2)(2bn+5)

=

1

2(2n+1)(2n-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1

，
T_n=1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

=1-

1

2n+1

=

2n

2n+1

．
∵Tn=1-

1

2n+1

是增函數(shù)，∴（T_n）_min=T₁=1-

1

2+1

=

2

3

，
∴使不等式T_n＞

k

75

對(duì)一切n∈N^*都成立的最大正整數(shù)k的值滿足：

k

75

＜

2

3

，解得k＜50，
∴使不等式T_n＞

k

75

對(duì)一切n∈N^*都成立的最大正整數(shù)k的值是49．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，考查滿足條件的最大整數(shù)的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．