Question

13．我國是世界上嚴重缺水的國家，某市政府為了制定合理的節(jié)水方案，對居民用水進行了調查，通過抽樣，獲得了100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數據按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）求直方圖中a的值；
（Ⅱ）估計居民月均用水量的中位數；
（Ⅲ）若居民用水量小于0.5噸，將被授予“節(jié)水達人”稱號，在[0，0.5）、[4，4.5]兩組種任選兩人，求至少有一位“節(jié)水達人”的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由頻率之和為1，列方程求出a的值；
（Ⅱ）由頻率分布直方圖中，中位數兩邊頻率相等，求出中位數的值；
（Ⅲ）計算月均用水量低于0.5噸和在[4，4.5）之間的人數，
求出從這6人中取出2人的基本事件數，計算所求的概率值．

解答 解：（Ⅰ）由頻率統(tǒng)計相關知識，各組頻率之和為1，
∴0.5×（0.08+0.16+a+0.4+0.52+a+0.12+0.08+0.04）=1，
解得a=0.8；
（Ⅱ）由頻率分布直方圖知，
（0.08+0.16+0.30+0.40）×0.5=0.47＜0.5，
0.47+0.52×0.5=0.73＞0.5，
∴中位數在[2，2.5）內，設為x，
則（x-2）×0.52+0.47=0.5，
解得x≈2.06，
估計全市月均用水量的中位數是2.06噸．
（Ⅲ）月均用水量低于0.5噸的人數為100×0.08×0.5=4人，
月均用水量在[4，4.5）之間有100×0.04×0.5=2人，
從這6人中取出2人，
共有${C}_{6}^{2}$=15種不同取法，
都在[4，4.5）的取法是${C}_{2}^{2}$=1種，
故至少有一位“節(jié)水達人”的概率為
P=1-$\frac{1}{15}$=$\frac{14}{15}$．

點評 本題考查了頻率分布直方圖的應用問題，也考查了古典概率的計算問題，是基礎題．