Question

19．已知函數(shù)f（x）=2sinx（sinx+cosx），
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若$x∈[0，\frac{π}{2}]$，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)的倍角公式將函數(shù)進行化簡即可求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若$x∈[0，\frac{π}{2}]$，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性和圖象即可求f（x）的值域．

解答 解：（1）f（x）=2sinx（sinx+cosx）=2sin²x+2sinxcosx
=1-cos2x+sin2x=1+$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
則函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$；
（2）若$x∈[0，\frac{π}{2}]$，
則0≤2x≤π，-$\frac{π}{4}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{4}$，
則sin（-$\frac{π}{4}$）≤sin（2x-$\frac{π}{4}$）≤sin$\frac{π}{2}$，
即-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤sin（2x-$\frac{π}{4}$）≤1，
-1≤$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$，
則0≤1+$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）≤1+$\sqrt{2}$，
即f（x）的值域為[0，1+$\sqrt{2}$]．

點評 本題主要考查三角函數(shù)周期和值域的求解，利用三角函數(shù)的倍角公式結(jié)合輔助角公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關(guān)鍵．