Question

（本小題滿分14分）根據(jù)如圖所示的程序框圖，將輸出a，b的值依次分別記為a1，a2， ，an， ，a2008；b1，b2， ，bn， ，b2008．

（Ⅰ）求數(shù)列 { an } 的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）寫出b1，b2，b3，b4，由此猜想{ bn }的通項(xiàng)公式，并證明你的證明；

（Ⅲ）在 ak 與 ak＋1 中插入bk＋1個(gè)3得到一個(gè)新數(shù)列 { cn } ，設(shè)數(shù)列 { cn }的前n項(xiàng)和為Sn，問(wèn)是否存在這樣的正整數(shù)m，使數(shù)列{ cn }的前m項(xiàng)的和，如果存在，求出m的值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（Ⅰ）an＝n；（Ⅱ）；（Ⅲ）見(jiàn)解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）根據(jù)程序框圖的功能易得{ an } 的通項(xiàng)公式為an＝n；（Ⅱ）由b1＝0，b2＝2，b3＝8，b4＝26，可猜想然后利用bn＋1＋1＝3（bn＋1）即可證明；（Ⅲ）數(shù)列中，項(xiàng)（含）前的所有項(xiàng)的和是，當(dāng)時(shí)，其和是，當(dāng)時(shí)，其和是，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015032206052670708580/SYS201503220605327542953459_DA/SYS201503220605327542953459_DA.010.png">，是3的倍數(shù)，故存在這樣的，

試題解析：（Ⅰ）a1＝1，an＋1 ＝an ＋1，∴{ an }是公差為1的等差數(shù)列．∴an＝n．3分

（Ⅱ）b1＝0，b2＝2，b3＝8，b4＝26，

猜想．證明如下：bn＋1 ＝3bn＋2，bn＋1＋1＝3（bn＋1），

∴{ bn＋1}是公比為3的等比數(shù)列．∴．則．7分

（Ⅲ）數(shù)列中，項(xiàng)（含）前的所有項(xiàng)的和是

，

估算知，當(dāng)時(shí)，其和是，當(dāng)時(shí)，其和是，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015032206052670708580/SYS201503220605327542953459_DA/SYS201503220605327542953459_DA.010.png">，是3的倍數(shù)，

故存在這樣的，使得，此時(shí)．14分

考點(diǎn)：數(shù)列與程序框圖的綜合應(yīng)用