Question

已知a＞0，b＞0，且點（a，b）在過點（0，2），（1，0）的直線上，求S=2

ab

-(4a2+b2)的最大值為

 

．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：不等式的解法及應用

分析：過點（0，2），（1，0）的直線為

x

1

+

y

2

=1，由于點（a，b）在直線上，可得2a+b=2．可得b=2-2a＞0，0＜a＜1．于是S=2

ab

-(4a2+b2)=2

a(2-2a)

-4a²-（2-2a）²=-8a²+8a-4+2

2a-2a2

，令

2a-2a2

=t，則0＜t≤

2

2

．則S=-4t²+2t-4，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：過點（0，2），（1，0）的直線為

x

1

+

y

2

=1，
∵點（a，b）在直線上，∴2a+b=2．
∴b=2-2a＞0，0＜a＜1．
∴S=2

ab

-(4a2+b2)=2

a(2-2a)

-4a²-（2-2a）²=-8a²+8a-4+2

2a-2a2

，
令

2a-2a2

=t，則0＜t≤

2

2

．
∴S=-4t²+2t-4=-4(t-

1

4

)2-

15

4

≤-

15

4

，當t=

1

4

時，取等號．
∴S的最大值為-

15

4

．
故答案為：-

15

4

．

點評：本題考查了直線的方程、二次函數(shù)的單調(diào)性、換元法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．