Question

【題目】已知橢圓，直線不過原點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸，與交于、兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為．

（1）證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；

（2）若過點(diǎn)，延長線段與交于點(diǎn)，四邊形能否為平行四邊形？若能，求出的方程；若不能，說明理由．

Answer 1

【答案】⑴見解析⑵四邊形OAPB能為平行四邊形，或．

【解析】

（1）設(shè)直線()，，，，通過直線與橢圓聯(lián)立及坐標(biāo)表示向量即可證得結(jié)論；

（2）由⑴得OM的方程為．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，通過直線與橢圓聯(lián)立解得，根據(jù)題意有，解方程即可得解.

⑴設(shè)直線()，，，，

將代入中，得，

故，，

于是直線OM的斜率，即，所以命題得證．

⑵四邊形OAPB能為平行四邊形．

因?yàn)橹本�過點(diǎn)，所以不過原點(diǎn)且與C有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是且．

由⑴得OM的方程為．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為．

由，得，即．

將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程得，因此，

四邊形OAPB為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段AB與線段OP互相平分，即．

于是，

解得，．所以當(dāng)四邊形OAPB為平行四邊形時(shí)，l的方程為或．