Question

12．已知F為拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，AB為拋物線的過(guò)焦點(diǎn)的弦，C為拋物線的準(zhǔn)線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)．若以AC為直徑的圓恰過(guò)點(diǎn)B，則|AF|-|BF|的值為2p．

Answer 1

分析 由題意得三角形CBF為直角三角形，利用射影定理，直角三角形CBF與直角三角形ADF相似，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意得三角形CBF為直角三角形，利用射影定理得${y}_{B}^{2}=（{x}_{1}+\frac{p}{2}）?（\frac{p}{2}-{x}_{1}）=\frac{{p}^{2}}{4}-{{x}_{1}}^{2}=2p{x}_{1}，{x}_{1}=\frac{\sqrt{5}-2}{2}p，\left|BF\right|=\frac{\sqrt{5}-1}{2}p$，
設(shè)A在x軸上的射影為D，則直角三角形CBF與直角三角形ADF相似，
∴$\frac{\left|AF\right|}{p}=\frac{\left|DF\right|}{\left|BF\right|}=\frac{\left|AF\right|-p}{\left|BF\right|}，\left|AF\right|=\frac{\sqrt{5}+3}{2}p$，
則|AF|-|BF|的值為2p，
故答案為：2p．

點(diǎn)評(píng) 復(fù)雜問(wèn)題包含的信息比較多，一個(gè)條件往往包含著具有等價(jià)關(guān)系的條件鏈，本題能否得到條件“以AC為直徑的圓恰過(guò)點(diǎn)B”的等價(jià)條件“三角形CBF為直角三角形”，這是解題的關(guān)鍵，也是使思維陷入絕境或者柳暗花明的分水嶺