Question

10．給出以下四個命題：
①一個底面半徑為1，母線長為2的圓錐的表面積為3π；
②設當x=θ時，函數(shù)f（x）=sinx-2cosx取得最大值，則cosθ=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
③已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，若它的前n項和S_n有最小值，且$\frac{{{a_{11}}}}{{{a_{10}}}}$＜-1，則使S_n＞0成立的最小自然數(shù)為19；
④函數(shù)f（x）=|lgx|，若0＜m＜n，且f（m）=f（n），則m+2n的取值范圍為[2$\sqrt{2}$，+∞）；
其中正確的命題有①②（請將滿足題意的序號填寫在答題卷中的橫線上）．

Answer 1

分析 ①利用圓錐表面積公式求解；②利用公式把函數(shù)化為f（x）=sinx-2cosx=$\sqrt{5}$sin（x-α）（coxα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）進行求解；
③利用等差數(shù)列的性質(zhì)進行判斷；④畫出函數(shù)圖象，得出m，n的范圍，轉(zhuǎn)換為函數(shù)最值解決．

解答 解：①s圓錐=s底+s側(cè)=π+$\frac{1}{2}$（2π）×2=3π，故正確；
②f（x）=sinx-2cosx=$\sqrt{5}$sin（x-α）（coxα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）
當x=θ時，有最大值，
∴sin（θ-α）=1即sinθ-2cosθ=$\sqrt{5}$
∴cosθ=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，故正確；
③由已知得，a₁＜0，d＞0，a₁₀＜0，a₁₁＞0，
∴a₁+a₁₉＜0，a₁₀+a₁₁＞0，
∴a₁+a₂₀＞0，
∴S₁₉＜0，S₂₀＞0，
故n=20，故錯誤；
④畫出y=|lgx|的圖象如圖：

∵0＜m＜n，且f（m）=f（n），
∴0＜m＜1，n＞1
∴-lgm=lgn，
∴mn=1，
∴n=$\frac{1}{m}$，
∴m+2n=m+$\frac{2}{m}$
令g（m）=m+$\frac{2}{m}$，在（0，1）上單調(diào)遞減，
∴g（m）＞g（1）=1+2=3，
即m+2n＞3，
則m+2n的取值范圍是（3，+∞），故錯誤；
故正確命題為①②．

點評 考查的知識點全面，屬于綜合性試題，學生要有耐心．