【題目】如圖,已知曲線,曲線, 是平面上一點,若存在過點的直線與都有公共點,則稱為“型點”.

(1)證明: 的左焦點是“型點”;

(2)設直線有公共點,求證: ,進而證明原點不是型點”;

(3)求證: 內(nèi)的點都不是型點”.

【答案】(1) ;(2)見解析;(3)見解析.

【解析】試題分析:(1)由題意的左焦點為,過的直線、交于,即可判定,得出直線方程;

(2)聯(lián)立方程組,根據(jù)方程有解,即可求解的范圍,從而判斷原點不是“型點”;

(3)以為邊界的正方形區(qū)域記為,分點的邊界上,和是區(qū)域內(nèi)的點,兩種情況分類討論,進而說明,聯(lián)立方程組,得出,得出直線與曲線沒有公共點,從而證得結(jié)論.

試題解析:

(1)的左焦點為,

的直線交于,與交于,故的左焦點為“型點”,且直線可以為;

(2)直線有交點,則,

若方程組有解,則必須;

直線有交點,則,

若方程組有解,則必須

故直線至多與曲線中的一條有交點,即原點不是“型點”

(3)以為邊界的正方形區(qū)域記為.

1)若點的邊界上,則該邊所在直線與相切,與有公共部分,即邊界上的點都是“型點”;

2)設是區(qū)域內(nèi)的點,即,

假設是“型點”,則存在過點的直線都有公共點.

ⅰ)若直線有公共點,直線的方程化為,假設,則

可知直線之間,與無公共點,這與“直線有公共點”矛盾,所以得到:與有公共點的直線的斜率滿足.

ⅱ)假設也有公共點,則方程組有實數(shù)解.

從方程組得

,由,

因為

所以, ,即直線沒有公共點,與“直線有公共點”矛盾,于是可知不是“型點”.

證明完畢

另解:

,因為,所以|,即.于是可知的圖像是開口向下的拋物線,且對稱軸方程為是,因為,

所以在區(qū)間上為增函數(shù),在上為減函數(shù).

因為, ,所以對任意,都有,即直線沒有公共點,與“直線有公共點”矛盾,于是可知不是“型點”.

證明完畢.

練習冊系列答案
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