Question

14．在平面直角坐標系xOy中，曲線C上的點S（x，y）到點M（$\sqrt{3}$，0）的距離與它到直線x=$\frac{4}{\sqrt{3}}$的距離之比為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，圓O的方程為x²+y²=4，曲線C與x軸的正半軸的交點為A，過原點O且異于坐標軸的直線與曲線C交于B，C兩點，直線AB與圓O的另一交點為P，直線PD與圓O的另一交點為Q，其中D（-$\frac{6}{5}$，0），設直線AB，AC的斜率分別為k₁、k₂
（I） 求曲線C的方程，并證明S（x，y）到點M的距離d∈[2-$\sqrt{3}$，2+$\sqrt{3}$]
（Ⅱ）求k₁k₂的值；
（Ⅲ）記直線PQ，BC的斜率分別為k_PQ、k_BC，是否存在常數(shù)λ，使得k_PQ=λk_BC？若存在，求λ的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用兩點間距離公式和點到直線的距離公式列出方程，由此能求出曲線C的方程，并能證明S（x，y）到點M的距離d∈[2-$\sqrt{3}$，2+$\sqrt{3}$]．
（Ⅱ）設B（x₀，y₀），則C（-x₀，-y₀），代入橢圓方程，運用直線的斜率公式，化簡即可得到所求值．
（Ⅲ）討論直線PQ的斜率存在和不存在，聯(lián)立直線PQ的方程和橢圓方程，求得點B的坐標，再求出直線PQ和直線PC的斜率，由此能求出結果．

解答 解：（Ⅰ）∵曲線C上的點S（x，y）到點M（$\sqrt{3}$，0）的距離與它到直線x=$\frac{4}{\sqrt{3}}$的距離之比為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{（x-\sqrt{3}）^{2}+（y-0）^{2}}}{|x-\frac{4}{\sqrt{3}}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
整理，得$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
∴曲線C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
∵M（$\sqrt{3}，0$）是橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1的右焦點，S是橢圓上的點，
∴S（x，y）到點M的距離d∈[2-$\sqrt{3}$，2+$\sqrt{3}$]．
（Ⅱ）設B（x₀，y₀），則C（-x₀，-y₀），∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+{{y}_{0}}^{2}=1$，
∴${k}_{1}{k}_{2}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}•\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$=$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-4}$=$\frac{1-\frac{1}{4}{{x}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-2}$=-$\frac{1}{4}$．
（Ⅲ）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}（x-2）}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得$（1+{{k}_{1}}^{2}）{x}^{2}$-4k₁²x+4（${{k}_{1}}^{2}-1$）=0，
解得${x}_{p}=\frac{2（{{k}_{1}}^{2}-1）}{1+{{k}_{1}}^{2}}$，y_P=k₁（x_P-2）=$\frac{-4{k}_{1}}{1+{{k}_{1}}^{2}}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}（x-\sqrt{2}）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+4k₁²）x²-16${{k}_{1}}^{2}$x+4（4${{k}_{1}}^{2}$-1）=0，
解得${x}_{B}=\frac{2（4{{k}_{1}}^{2}-1）}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$，${y}_{B}={k}_{1}（{x}_{B}-\sqrt{2}）$=$\frac{-4{k}_{1}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$．
∴${k}_{BC}=\frac{{y}_{B}}{{x}_{B}}$=$\frac{-2{k}_{1}}{4{{k}_{1}}^{2}-1}$，k_PQ=$\frac{{y}_{P}}{{x}_{P}+\frac{6}{5}}$=$\frac{-\frac{4{k}_{1}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}}{\frac{2（{{k}_{1}}^{2}-1）}{1+{{k}_{1}}^{2}}+\frac{6}{5}}$=$\frac{-5{k}_{1}}{4{{k}_{1}}^{2}-1}$，
∴${k}_{PQ}=\frac{5}{2}{k}_{BC}$，
∴存在常數(shù)λ=$\frac{5}{2}$，使得k_PQ=$\frac{5}{2}$k_BC．

點評 本題考查曲線方程的求法，考查直線的斜率乘積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意兩點間距離公式、點到直線的距離公式、直線的斜率公式、橢圓方程的性質(zhì)的合理運用．