D
分析:由于函數(shù)f(x)為分段函數(shù),故要使其為單調(diào)增函數(shù),需每段上為增函數(shù)且x<0時的最大值小于或等于x≥0時的最小值,同理得出其為單調(diào)減函數(shù)的條件,因此先求函數(shù)為增函數(shù)的充要條件,再比較選項中的集合與充要條件集合的包含關(guān)系即可判斷其充要性.
解答:函數(shù)f(x)=
,為分段函數(shù),
(1)當(dāng)函數(shù)f(x)=
在(-∞,+∞)上是單調(diào)增函數(shù)時,
當(dāng)x≥0時,y=ax
2為二次函數(shù),圖象是對稱軸為y軸的拋物線,它為增函數(shù)時,有a>0;
當(dāng)x<0時,f(x)=(a
2-1)e
ax是增函數(shù),它的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)=a(a
2-1)e
ax,
令f′(x)≥0得-1≤a≤0或a≥1,且(a
2-1)e
0≤0即-1≤a≤1,
∴綜合得a=1;
(2)當(dāng)函數(shù)f(x)=
在(-∞,+∞)上是單調(diào)減函數(shù)時,
當(dāng)x≥0時,y=ax
2為二次函數(shù),圖象是對稱軸為y軸的拋物線,它為減函數(shù)時,有a<0;
當(dāng)x<0時,f(x)=(a
2-1)e
ax是減函數(shù),它的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)=a(a
2-1)e
ax,
令f′(x)≤0得
0≤a≤1或a≤-1,
且(a
2-1)e
0≥0即a≤-1或a≥1,
∴綜合得a≤-1.
綜上所述,函數(shù)f(x)=
在(-∞,+∞)上是單調(diào)函數(shù)的充要條件是a≤-1或a=1,
∵選項D:“
”?a≤-1或a=1,反之不成立.
∴選項D:“
”是“f(x)在R上單調(diào)遞增”的必要不充分條件.
故選D.
點評:本題考查了分段函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法,判斷命題充要性的方法,導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用等,屬于基礎(chǔ)題.