Question

8．求下列函數(shù)的單調區(qū)間：
（1）y=$\frac{1}{2}$sin（$\frac{π}{4}$-2x）；
（2）y=cos2x．

Answer 1

分析 （1）該函數(shù)是由y=$\frac{1}{2}sint$和t=$\frac{π}{4}-2x$復合而成的復合函數(shù)，函數(shù)$t=\frac{π}{4}-2x$為減函數(shù)，從而使y=$\frac{1}{2}sint$為增函數(shù)的x所在區(qū)間便是原函數(shù)的單調減區(qū)間，使y=$\frac{1}{2}$sint為減函數(shù)的x所在區(qū)間便是原函數(shù)的單調增區(qū)間，這樣根據(jù)正弦函數(shù)的單調區(qū)間便可得出原函數(shù)的單調增、減區(qū)間；
（2）和（1）同樣的方法，根據(jù)復合函數(shù)的單調性及余弦函數(shù)的單調區(qū)間便可得出原函數(shù)的單調區(qū)間．

解答 解：（1）解$-\frac{π}{2}+2kπ≤\frac{π}{4}-2x≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z得：$-\frac{π}{8}-kπ≤x≤\frac{3π}{8}-kπ，k∈Z$；
∴該函數(shù)的單調遞減區(qū)間為$[-\frac{π}{8}-kπ，\frac{3π}{8}-kπ]$，k∈Z；
解$\frac{π}{2}+2kπ≤\frac{π}{4}-2x≤\frac{3π}{2}+2kπ$，k∈Z得：$-\frac{5π}{8}-kπ≤x≤-\frac{π}{8}-kπ，k∈Z$；
∴該函數(shù)的單調遞增區(qū)間為[$-\frac{5π}{8}-kπ，-\frac{π}{8}-kπ$]，k∈Z；
（2）解-π+2kπ≤2x≤2kπ得，$-\frac{π}{2}+kπ≤x≤kπ$，k∈Z；
解2kπ≤2x≤π+2kπ得，$kπ≤x≤\frac{π}{2}+kπ$，k∈Z；
∴該函數(shù)的單調遞增區(qū)間為$[-\frac{π}{2}+kπ，kπ]，k∈Z$；
單調遞減區(qū)間為[kπ，$\frac{π}{2}+kπ$]，k∈Z．

點評 考查復合函數(shù)的定義，以及復合函數(shù)的單調性的判斷及單調區(qū)間的求法，正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的單調區(qū)間，一次函數(shù)的單調性．