Question

一個多面體的三視圖和直觀圖如圖所示，其中正視圖和俯視圖均為矩形，側(cè)視圖為直角三角形，M是AB的中點．
（1）求證：CM⊥平面FDM；
（2）求直線DM與平面ABEF所成角的大小．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）先根據(jù)三視圖可得直觀圖為直三棱柱，欲證CM⊥平面FDM，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證CM與平面FDM內(nèi)兩相交直線垂直，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知FD⊥CM，以及根據(jù)勾股定理可知CM⊥DM，F(xiàn)D?平面FDM，DM?平面FDM，滿足定理所需條件；
（2）在平面ADF上，過D作AF的垂線，垂足為H，連DM，根據(jù)線面所成角的定義可知∠DMH是DM與平面ABEF所成的角，然后在三角形DHM中求出此角即可．

解答： 解：由三視圖可得直觀圖為直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF，DF=AD=a，
（1）顯然FD⊥平面ABCD，
又CM?平面ABCD，
∴FD⊥CM（2分）
在矩形ABCD中，CD=2a，AD=a，
M為AB中點，DM=CM=

2

a，
∴CM⊥DM
∵FD?平面FDM，DM?平面FDM，
∴CM⊥平面FDM；
（2）在平面ADF上，過D作AF的垂線．
垂足為H，連DM，
則DH⊥平面ABEF，
∠DMH是DM與平面ABEF所成的角（12分）
在Rt△DHM中，DH=

2

2

a，DM=

2

a
∴sin∠DMH=

DH

DM

=

1

2

∴∠DMH=

π

6

．所以直線DM與平面ABEF所成角為

π

6

．

點評：本題主要考查直線與平面垂直的判定和直線與平面所成角的計算，考查學(xué)生空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．