Question

14．已知在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，且b²、c²是關于x的一元二次方程x²-（a²+bc）x+m=0的兩根．
（1）求角A的值；
（2）若$a=\sqrt{3}$，設角B=θ，△ABC周長為y，求y=f（θ）的最大值．

Answer 1

分析 （1）直接利用韋達定理以及余弦定理求解A的值即可．
（2）利用正弦定理求出b，求出三角形的周長，利用三角函數(shù)的最值求解即可．

解答 （1）解：在△ABC中，且b²、c²是關于x的一元二次方程x²-（a²+bc）x+m=0的兩根．
依題意有：b²+c²=a²+bc（2分）
∴$cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=\frac{1}{2}$（4分）
又A∈（0，π），∴$A=\frac{π}{3}$（6分）
（2）解：由$a=\sqrt{3}，A=\frac{π}{3}$及正弦定理得：$\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}=2$
∴$b=2sinB=2sinθ，c=2sinC=2sin（\frac{2π}{3}-B）=2sin（\frac{2π}{3}-θ）$（8分）
故$y=a+b+c=\sqrt{3}+2sinθ+2sin（\frac{2π}{3}-θ）$
即$y=2\sqrt{3}sin（θ+\frac{π}{6}）+\sqrt{3}$（10分）
由$0＜θ＜\frac{2π}{3}$得：$\frac{π}{6}＜θ+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$
∴當$θ+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即$θ=\frac{π}{3}$時，${y_{max}}=3\sqrt{3}$．（12分）

點評 本題考查正弦定理以及余弦定理的應用，考查三角函數(shù)的最值的求法，考查計算能力．