Question

19．若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立，則稱函數(shù)f（x）是“可拆函數(shù)”．
（1）函數(shù)f（x）=$\frac{k}{x}$是否是“可拆函數(shù)”？請(qǐng)說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）=2x+b+2^x是“可拆函數(shù)”，求實(shí)數(shù)b的取值范圍：
（3）證明：f（x）=cosx是“可拆函數(shù)”．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)k=0時(shí)，易知是“可拆函數(shù)”；當(dāng)k≠0時(shí)，方程可化為x²+x+1=0，從而判斷；
（2）若函數(shù)f（x）=2x+b+2^x是“可拆函數(shù)”，化簡(jiǎn)可得b=2^x-2有解，從而解得；
（3）由題意知判斷方程cos（x+1）=cosx+cos1是否有解即可．

解答 解：（1）當(dāng)k=0時(shí)，f（x）=0，是“可拆函數(shù)”；
當(dāng)k≠0時(shí)，
f（x+1）=$\frac{k}{x+1}$，f（1）=k，
故$\frac{k}{x+1}$=$\frac{k}{x}$+k，
即x²+x+1=0，
方程無解，
故f（x）=$\frac{k}{x}$不是“可拆函數(shù)”；
（2）若函數(shù)f（x）=2x+b+2^x是“可拆函數(shù)”，
則方程f（x+1）=f（x）+f（1）有解，
即2（x+1）+b+2^x+1=2x+b+2^x+2+b+2有解，
即b=2^x-2有解，
故b＞-2；
（3）證明：令f（x+1）=f（x）+f（1），
即cos（x+1）=cosx+cos1，
即cosxcos1-sinxsin1-cosx=cos1，
即（cos1-1）cosx-sinxsin1=cos1，
故存在θ，
故$\sqrt{（cos1-1）^{2}+si{n}^{2}1}$cos（x+θ）=cos1，
即$\sqrt{2-2cos1}$cos（x+θ）=cos1，
即cos（x+θ）=$\frac{cos1}{\sqrt{2-2cos1}}$，
∵cos²1-（2-2cos1）
=cos²1+2cos1-2
＜cos²$\frac{π}{4}$+2cos$\frac{π}{4}$-2=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$-2＜0，
故0＜$\frac{cos1}{\sqrt{2-2cos1}}$＜1，
故方程cos（x+1）=cosx+cos1有解，
即f（x）=cosx是“可拆函數(shù)”．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了學(xué)生的接受能力及分類討論的思想應(yīng)用，同時(shí)考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與應(yīng)用．