Question

已知函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，且當(dāng)x∈R時(shí)，f（m-x）+f（m+x）=2n恒成立，
（1）求證：y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（m，n）對(duì)稱；
（2）求函數(shù)f（x）=x³+2x²圖象的一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用定義來證明即可．
（2）因?yàn)辄c(diǎn)A（m，n）是f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)的充要條件是f（m-x）+f（m+x）=2n，x∈R．可設(shè)A（m，n）為f（x）的一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)則得到f（m-x）+f（m+x）=2n成立即可解出m和n；

解答： 證明：（1）f（m-x）+f（m+x）=2n恒成立
設(shè)（a，b）是函數(shù)y=f（x）圖象上任意一點(diǎn)，該點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)（m，n）對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（c，d），那么點(diǎn)（m，n）是點(diǎn)（a，b）與點(diǎn)（c，d）的中點(diǎn)
即：a+c=2m，b+d=2n，
令x₀=m-a，則a=m-x₀，c=m+x₀，
點(diǎn)（a，b）在函數(shù)y=（x）的圖象上，那么：b=f（a）=f（m-x₀），
所以，d=2n-b=2n-f（m-x₀）=f（m+x₀）=f（c），
即點(diǎn)（c，d ）也在函數(shù)y=f（x）的圖象上則，
故函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（m，n）對(duì)稱．（2）解：設(shè)A（m，n）為函數(shù)f（x）=x³+2x²圖象的一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，則f（m-x）+f（m+x）=2n，對(duì)于x∈R恒成立．即（m-x）³+2（m-x）²+（m+x）³+2（m+x）²=2n對(duì)于x∈R恒成立，
∴（6m+4）x²+（2m³+4m²-2n）=0
由

6m+4=0 2m3+4m2-2n=0

解得：

m=- 2 3 n= 16 27

故函數(shù)f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)為(-

2

3

，

16

27

)

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的對(duì)稱性，靈活利用f（m-x）+f（m+x）=2n的對(duì)稱中心為（m．n），屬于基礎(chǔ)題．