Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-mx²+$\frac{3}{2}$mx（m＞0）
（1）當m=2時，求函數(shù)y=f（x）的單調遞增區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）既有極大值，又有極小值，且當0≤x≤4m時，f（x）＜mx²+（$\frac{3}{2}$m-3m²）x+$\frac{32}{3}$恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）m=2時，可求出f（x），然后求導數(shù)，解f′（x）≥0即可得出y=f（x）的單調遞增區(qū)間；
（2）求導數(shù)$f′（x）={x}^{2}-2mx+\frac{3}{2}m$，根據(jù)題意可知一元二次方程f′（x）=0有兩個不同實數(shù)根，從而可得出$m＞\frac{3}{2}$，構造函數(shù)$g（x）=f（x）-m{x}^{2}-（\frac{3}{2}m-3{m}^{2}）x$，根據(jù)導數(shù)在[0，4m]上的符號情況即可求出函數(shù)g（x）在[0，4m]上的最大值為$\frac{4}{3}{m}^{3}$，然后解不等式$\frac{4}{3}{m}^{3}＜\frac{32}{3}$即可得出m的取值范圍．

解答 解：（1）m=2時，$f（x）=\frac{1}{3}{x}^{3}-2{x}^{2}+3x$，f′（x）=x²-4x+3；
∴解f′（x）≥0得，x≤1，或x≥3；
∴函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間是（-∞，1]，[3，+∞）；
（2）$f′（x）={x}^{2}-2mx+\frac{3}{2}m$；
∵f（x）既有極大值又有極小值；
∴方程f′（x）=0有兩個不同實數(shù)根；
∴△=4m²-6m＞0，m＞0；
∴$m＞\frac{3}{2}$；
令$g（x）=f（x）-m{x}^{2}-（\frac{3}{2}m-3{m}^{2}）x$=$\frac{1}{3}{x}^{3}-2m{x}^{2}+3{m}^{2}x$，g′（x）=x²-4mx+3m²；
∴解g′（x）=0得，x=m或x=3m，且m$＞\frac{3}{2}$；
∴x∈[0，m）時，g′（x）＞0，x∈（m，3m）時，g′（x）＜0，x∈（3m，4m]時，g′（x）＞0；
∴x=m時，g（x）有極大值$\frac{4}{3}{m}^{3}$，x=3m時，g（x）有極小值0，且g（0）=0，g（4m）=$\frac{4}{3}{m}^{3}$；
∴g（x）的最大值為$\frac{4}{3}{m}^{3}$，則$\frac{4}{3}{m}^{3}＜\frac{32}{3}$恒成立；
∴m＜2；
∴$\frac{3}{2}＜m＜2$；
∴m的取值范圍為$（\frac{3}{2}，2）$．

點評 考查根據(jù)函數(shù)導數(shù)符號求函數(shù)單調區(qū)間，以及求函數(shù)在閉區(qū)間上的極值、最值的方法，解一元二次不等式，一元二次方程實根的情況和判別式△取值的關系．