Question

5．國內(nèi)某大學有男生6000人，女生4000人，該校想了解本校學生的運動狀況，根據(jù)性別采取分層抽樣的方法從全校學生中抽取100人，調(diào)查他們平均每天運動的時間（單位：小時），統(tǒng)計表明該校學生平均每天運動的時間范圍是[0，3]．若規(guī)定平均每天運動的時間不少于2小時的學生為“運動達人”，低于2小時的學生為“非運動達人”．根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)按性別與“是否為‘運動達人’”進行統(tǒng)計，得到如下2×2列聯(lián)表．

運動時間 性別	運動達人	非運動達人	合計
男生	36
女生		26
合計			100

（Ⅰ）請根據(jù)題目信息，將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)補充完整，并通過計算判斷能否在犯錯誤概率不超過0.025的前提下認為性別與“是否為‘運動達人’”有關；
（Ⅱ）將此樣本的頻率估計為總體的概率，隨機調(diào)查該校的3名男生，設調(diào)查的3人中運動達人的人數(shù)為隨機變量X，求X的分布列和數(shù)學期望E（X）及方差D（X）．
附表及公式：

P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．

Answer 1

分析 （I）計算K²，根據(jù)臨界值表作出結(jié)論；
（II）分別計算X=0，1，2，3時的概率得出分布列，根據(jù)分布列得出數(shù)學期望和方差．

解答 解：（I）列聯(lián)表如下：

運動時間 性別	運動達人	非運動達人	合計
男生	36	24	60
女生	14	26	40
合計	50	50	100

K²=$\frac{100×（{36×26-14×24）}^{2}}{60×40×50×50}$=6＞5.024．
∴在犯錯誤概率不超過0.025的前提下可以性別與“是否為‘運動達人’”有關．
（II）隨機調(diào)查一名男生，則這名男生為運動達人的概率為P=$\frac{36}{60}=\frac{3}{5}$．
X的可能取值為0，1，2，3．
∴P（X=0）=（1-$\frac{3}{5}$）³=$\frac{8}{125}$，P（X=1）=C${\;}_{3}^{1}$（$\frac{3}{5}$）（1-$\frac{3}{5}$）²=$\frac{36}{125}$，P（X=2）=C${\;}_{3}^{2}$（$\frac{3}{5}$）²（1-$\frac{3}{5}$）=$\frac{54}{125}$，P（X=3）=（$\frac{3}{5}$）³=$\frac{27}{125}$．
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{8}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{27}{125}$

∴E（X）=3×$\frac{3}{5}$=$\frac{9}{5}$．D（X）=3×$\frac{3}{5}×\frac{2}{5}$=$\frac{18}{25}$．

點評 本題考查了獨立性檢驗的應用，離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望、方差的求法，是中檔題．