Question

15．如圖，將菱形AECF沿對角線EF折疊，分別過E、F作AC所在平面的垂線ED、FB，垂足分別為D、B，四邊形ABCD為菱形，且∠BAD=60°．
（1）求證：FC∥平面ADE；
（2）若AB=2BF=2，求該幾何體的體積．

Answer 1

分析 （1）可通過證明平面BCF∥平面ADE來得出FC∥平面ADE；
（2）利用勾股定理證明DE=BF，得出四邊形BDEF是矩形再證明AC⊥平面BDEF，于是幾何體分割成全等的兩個四棱錐A-BDEF和C-BDEF．

解答 證明：（1）∵DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，
∴DE∥BF，又BF?平面ADE，DE?平面ADE，
∴BF∥平面ADE．
∵四邊形ABCD是菱形，∴BC∥AD，
又BC?平面ADE，AD?平面ADE，
∴BC∥平面ADE，
又BF?平面BCF，BC?平面BCF，BC∩BF=B，
∴平面BCF∥平面ADE，∵CF?平面BCF，
∴FC∥平面ADE．
（2）∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，
∴△ABD是等邊三角形，AC⊥BD，
∴AC=2$\sqrt{3}$，BD=AD=BC=2，
∵DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，
∴DE⊥AD，BF⊥BC，DE⊥BD，DE⊥AC，
∴AC⊥平面BDEF，DE=$\sqrt{A{E}^{2}-A{D}^{2}}$，BF=$\sqrt{C{F}^{2}-B{C}^{2}}$，
又折疊前AECF是菱形，∴AE=CF，
∴DE=BF，又DE∥CF，∴四邊形BDEF是矩形．
∴S_矩形BDEF=BD•BF=2×1=2．
∴幾何體的體積V=$\frac{1}{3}{S}_{矩形BDEF}$•AC=$\frac{1}{3}×2×2\sqrt{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了線面平行的判定，棱錐的體積計算，當不好構造平行直線時，常采用證明面面平行得出線面平行，屬于中檔題．