Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{k}{x-1}，x≤0}\\{lnx，x＞0}\end{array}\right.$，若關(guān)于x的方程f（f（x））=0有且只有一個實數(shù)解，則實數(shù)k的取值范圍是（　　）

• A． （-1，0）∪（0，+∞）
• B． （-∞，0）∪（0，1）
• C． （-1，0）∪（0，1）
• D． （-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)與方程之間的關(guān)系，利用換元法設(shè)設(shè)t=f（x），則條件等價為f（t）=0，作出對應(yīng)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．

解答 解：由選項知k≠0，
設(shè)t=f（x），則由f（f（x））=0得f（t）=0，
∵當x≤0時，f（x）=$\frac{k}{x-1}$≠0，
∴當x＞0時，由f（x）=lnx=0得x=1，
若f（t）=0，則t=1，
則若關(guān)于x的方程f（f（x））=0有且只有一個實數(shù)解
則等價為f（x）=1有唯一解．
作出函數(shù)f（x）的圖象，由圖象知當x＞0時，f（x）=lnx=1有一個解，
則等價為當x≤0時，f（x）=$\frac{k}{x-1}$=1無解，
即若k＞0，滿足$\frac{k}{x-1}$=1無解，
若k＜0，則函數(shù)f（x）=$\frac{k}{x-1}$在x≤0時為增函數(shù)，則函數(shù)的最大值為f（0）=-k，
此時只要滿足-k＜1，即-1＜k＜0，即可，
綜上實數(shù)k的取值范圍是（-1，0）∪（0，+∞），
故選：A

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用換元法將條件轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點個數(shù)問題是解決本題的關(guān)鍵．利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論的數(shù)學思想，綜合性較強，有一定的難度．