Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a}{2}$x²+（a+1）x+2ln（x-1）．
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線與直線2x-y+1平行，求出這條切線的方程；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）先利用切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值即為切線的斜率求出a的值，然后求出切點(diǎn)的坐標(biāo)，則切線方程可求；
（2）對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)，然后轉(zhuǎn)化為一個(gè)二次不等式的解法問題求解，注意分裂討論．

解答 解：（1）由已知得：$f′（x）=ax+\frac{2}{x-1}+a+1，（x＞1）$
因?yàn)辄c(diǎn)（2，f（2））處的切線與直線2x-y+1平行．
所以f′（2）=2a+2+a+1=2，所以a=$-\frac{1}{3}$．
所以f（2）=$-\frac{1}{6}×{2}^{2}+\frac{2}{3}×2=\frac{2}{3}$．
故切線方程為y-$\frac{2}{3}$=2（x-2），即6x-3y-10=0．
（2）已知得：$f′（x）=ax+\frac{2}{x-1}+a+1，（x＞1）$，即$f′（x）=\frac{a{x}^{2}+x+1-a}{x-1}$．
令g（x）=ax²+x+1-a
①當(dāng)a=0時(shí)，g（x）=x+1，顯然，x＞1時(shí)，g（x）＞0恒成立，即f′（x）＞0恒成立，所以此時(shí)函數(shù)是定義域內(nèi)的增函數(shù)；
②當(dāng)a≠0時(shí)，$g（x）=a[x-（1-\frac{1}{a}）]（x+1）$，
當(dāng)a＜0時(shí)，$1-\frac{1}{a}＞1$，故當(dāng)$x∈（1，1-\frac{1}{a}）$時(shí)，g（x）＞0，當(dāng)$x∈（1-\frac{1}{a}，+∞）$時(shí)，g（x）＜0．
故原函數(shù)在$（1，1-\frac{1}{a}）$上遞增，在$（1-\frac{1}{a}，+∞）$上遞減．
當(dāng)a＞0時(shí)，$1-\frac{1}{a}＜1$，此時(shí)g（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，故原函數(shù)在（1，+∞）上為增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 結(jié)合二次函數(shù)的圖象求解二次不等式是常規(guī)的解題思路，在利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的問題中，常常將問題轉(zhuǎn)化為一元二次不等式問題來解，因此此類問題要引起足夠重視．