Question

3．已知數(shù)列{a_n}是公差不為0的等差數(shù)列，且a₂=2，a₁，a₃，a₆成等比數(shù)列
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）記b_n=4a_na_n+1，$\frac{1}{{c}_{n}}$=$\frac{1}{_{n}}$+$\frac{1}{_{n+1}}$，數(shù)列{$\frac{1}{{c}_{n}}$}的前n項和為S_n，證明，對一切正整數(shù)n，有S_n＜$\frac{3}{8}$．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d≠0，利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（2）由b_n=$\frac{4（2n+6）（2n+8）}{25}$，可得$\frac{1}{{c}_{n}}$=$\frac{25}{16（n+3）（n+4）}$+$\frac{25}{16（n+4）（n+5）}$=$\frac{25}{32}（\frac{1}{n+3}-\frac{1}{n+5}）$，利用“裂項求和”及其不等式的性質(zhì)即可證明．

解答 （1）解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d≠0，
∵a₂=2，a₁，a₃，a₆成等比數(shù)列，
∴a₁+d=2，${a}_{3}^{2}={a}_{1}{a}_{6}$，即$（{a}_{1}+2d）^{2}={a}_{1}（{a}_{1}+5d）$，
解得a₁=$\frac{8}{5}$，d=$\frac{2}{5}$，
∴a_n=$\frac{8}{5}+\frac{2}{5}（n-1）$=$\frac{2n+6}{5}$．
（2）證明：b_n=4a_na_n+1=$\frac{4（2n+6）（2n+8）}{25}$，
∴$\frac{1}{{c}_{n}}$=$\frac{1}{_{n}}$+$\frac{1}{_{n+1}}$=$\frac{25}{16（n+3）（n+4）}$+$\frac{25}{16（n+4）（n+5）}$=$\frac{25}{32}（\frac{1}{n+3}-\frac{1}{n+5}）$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{c}_{n}}$}的前n項和為S_n=$\frac{25}{32}$$[（\frac{1}{4}-\frac{1}{6}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）+（\frac{1}{6}-\frac{1}{8}）$+…+$（\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+4}）+（\frac{1}{n+3}-\frac{1}{n+5}）]$
=$\frac{25}{32}（\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{n+4}-\frac{1}{n+5}）$＜$\frac{25}{32}×\frac{9}{20}$=$\frac{5×9}{8×16}$$＜\frac{3}{8}$．
∴對一切正整數(shù)n，有S_n＜$\frac{3}{8}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、“裂項求和”、不等式的性質(zhì)，考查了變形能力，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．