Question

10．已知函數(shù)f（x）=-x³+ax²+1（a∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）在（0，$\frac{2}{3}$）上遞增，在（$\frac{2}{3}$，+∞）上遞減，求a的值；
（2）在（1）的條件下，是否存在實數(shù)m，使得函數(shù)g（x）=x⁴-5x³+（2-m）x²+1（m∈R）的圖象與函數(shù)y=f（x）的圖象恰有三個交點，若存在，請求出實數(shù)m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的導數(shù)，通過f′（$\frac{2}{3}$）=0，解出a的值即可；
（2）問題轉化為方程x²-4x+（1-m）=0有兩個非零不等實根，得到$\left\{\begin{array}{l}{△=16-4（1-m）＞0}\\{1-m≠0}\end{array}\right.$，解出m的范圍即可．

解答 解：（1）∵f′（x）=-3x²+2ax，∴f′（$\frac{2}{3}$）=0，
即：-3（$\frac{2}{3}$）2+2a•$\frac{2}{3}$=0，解得：a=1；
（2）函數(shù)y=f（x）與g（x）=x⁴-5x³+（2-m）x²+1（m∈R）的圖象恰有3個交點，
等價于方程-x³+x²+1=x⁴-5x³+（2-m）x²+1恰有3個不等實根，
∴x⁴-4x³+（1-m）x²=0，
顯然x=0是其中一個根（二重根），
方程x²-4x+（1-m）=0有兩個非零不等實根，
則 $\left\{\begin{array}{l}{△=16-4（1-m）＞0}\\{1-m≠0}\end{array}\right.$，
∴m＞-3且m≠1，
故當m＞-3且m≠1時，函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象恰有3個交點．

點評 本題考查了函數(shù)的導數(shù)的應用，考查二次函數(shù)的性質，考查轉化思想，是一道中檔題．