Question

1．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，滿足S_n=2a_n-1，n∈N^*．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記b_n=log₂a_n，n∈N^*，求數(shù)列{（-1）ⁿb_n²}的前2n項(xiàng)和T_2n．

Answer 1

分析 （I）S_n=2a_n-1，n∈N^*．n=1時(shí)，a₁=2a₁-1，解得a₁．n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，化為：a_n=2a_n-1．利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（II）b_n=log₂a_n=n-1，可得$（-1）^{2n-1}_{2n-1}^{2}$+$（-1）^{2n}_{2n}^{2}$=-（2n-2）²+（2n-1）²=4n-3．再利用等差數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（I）S_n=2a_n-1，n∈N^*．n=1時(shí)，a₁=2a₁-1，解得a₁=1．
n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-1-（2a_n-1-1），化為：a_n=2a_n-1．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，公比為2．
∴a_n=2^n-1．
（II）b_n=log₂a_n=n-1，
∴$（-1）^{n}_{n}^{2}$=（-1）ⁿ（n-1）²，
$（-1）^{2n-1}_{2n-1}^{2}$+$（-1）^{2n}_{2n}^{2}$=-（2n-2）²+（2n-1）²=4n-3．
∴數(shù)列{（-1）ⁿb_n²}的前2n項(xiàng)和T_2n=$\frac{n（1+4n-3）}{2}$=2n²-n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“分組求和方法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．