Question

7．設(shè)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-x}，x≤1}\\{lo{g}_{3}\frac{x}{3}lo{g}_{3}\frac{x}{9}，x＞1}\end{array}\right.$．
（1）求f（log₂$\frac{3}{2}$）的值；
（2）求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得log₂$\frac{3}{2}$＜log₂2=1，結(jié)合分段函數(shù)，運用對數(shù)恒等式計算即可得到；
（2）討論當x≤1時，運用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得最小值；再由x＞1，運用對數(shù)的運算性質(zhì)，令t=log₃x，（t＞0），轉(zhuǎn)化為t的二次函數(shù)，配方即可得到所求最小值，再取最小的即可．

解答 解：（1）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-x}，x≤1}\\{lo{g}_{3}\frac{x}{3}lo{g}_{3}\frac{x}{9}，x＞1}\end{array}\right.$，
由log₂$\frac{3}{2}$＜log₂2=1，
可得f（log₂$\frac{3}{2}$）=2${\;}^{-lo{g}_{2}\frac{3}{2}}$=2${\;}^{lo{g}_{2}\frac{2}{3}}$=$\frac{2}{3}$；
（2）當x≤1時，f（x）=2^-x遞減，可得f（x）≥$\frac{1}{2}$；
當x＞1時，f（x）=log₃$\frac{x}{3}$•log₃$\frac{x}{9}$=（log₃x-1）（log₃x-2），
令t=log₃x，（t＞0），即有y=（t-1）（t-2）=（t-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
當t=$\frac{3}{2}$時，即x=3$\sqrt{3}$，取得最小值-$\frac{1}{4}$．
綜上可得f（x）的最小值為-$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查分段函數(shù)及運用：求函數(shù)值和最值，注意運用各段的解析式和單調(diào)性，考查對數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)的運用，考查運算能力，屬于中檔題．