Question

6．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AA₁=AC=BC=1，則異面直線A₁B與AC所成角的余弦值是（　�。�

• A． -$\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． -$\frac{\sqrt{2}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 由AC∥A₁C₁，知∠C₁A₁B是異面直線A₁B與AC所成角（或所成角的補(bǔ)角），由此能求出異面直線A₁B與AC所成角的余弦值．

解答 解：連結(jié)BC₁，∵AC∥A₁C₁，
∴∠C₁A₁B是異面直線A₁B與AC所成角（或所成角的補(bǔ)角），
∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AA₁=AC=BC=1，
∴AB=$\sqrt{2}$，A₁B=$\sqrt{3}$，BC₁=$\sqrt{2}$，A₁C₁=1，
∴cos∠C₁A₁B=$\frac{1+3-2}{2×1×\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴異面直線A₁B與AC所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意余弦定理的合理運(yùn)用．