Question

13．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到點(diǎn)M（-1，0）的距離與它到直線x=1的距離相等．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（Ⅱ）若直線l：x+y+1=0與動(dòng)點(diǎn)P的軌跡交于A，B兩點(diǎn)，求弦AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是以M（-1，0）為焦點(diǎn)，頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線，即可求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（Ⅱ）若直線l：x+y+1=0與動(dòng)點(diǎn)P的軌跡交于A，B兩點(diǎn)，由方程組$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=-4x\\ x+y+1=0\end{array}\right.$消去x得：y²-4y-4=0，利用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式求弦AB的長(zhǎng)．

解答 解：（Ⅰ）由題意知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是以M（-1，0）為焦點(diǎn)，頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線…（3分）
所以P點(diǎn)軌跡方程為y²=-4x…（6分）
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由方程組$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=-4x\\ x+y+1=0\end{array}\right.$消去x得：y²-4y-4=0⇒y₁+y₂=4，y₁y₂=-4…（8分）
所以$|{AB}|=\sqrt{1+{{（-1）}^2}}•\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}=8$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義與方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題．