Question

5．已知a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=x²-|x²-ax-2|在區(qū)間（-∞，-1）和（2，+∞）上單調(diào)遞增，則a的取值范圍為[1，8]．

Answer 1

分析 根據(jù)絕對值的應(yīng)用，將函數(shù)進行轉(zhuǎn)化，結(jié)合一元二次不等式與一元二次函數(shù)之間的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)進行討論判斷．

解答 解：解：令函數(shù)g（x）=x²-ax-2，由于g（x）的判別式△=a²+8＞0，故函數(shù)g（x）一定有兩個零點，
設(shè)為 x₁ 和x₂，且 x₁＜x₂．
∵函數(shù)f（x）=x²-|x²-ax-2|=$\left\{\begin{array}{l}{ax+2，}&{x＜{x}_{1}或x＞{x}_{2}}\\{2{x}^{2}-ax-2，}&{{x}_{1}≤x≤{x}_{2}}\end{array}\right.$，
故當x∈（-∞，x₁）、（x₂，+∞）時，
函數(shù)f（x）的圖象是位于同一條直線上的兩條射線，
當x∈（x₁，x₂ ）時，函數(shù)f（x）的圖象是拋物線y=2x²-ax-2下凹的一部分，且各段連在一起．
由于f（x）在區(qū)間（-∞，-1）和（2，+∞）上單調(diào)遞增，
∴a＞0且函數(shù)g（x）較小的零點x₁=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+8}}{2}$≥-1，
即a+2≥$\sqrt{{a}^{2}+8}$，
平方得a²+4a+4≥a²+8，得a≥1，
同時由y=2x²-ax-2的對稱軸為 x=$-\frac{-a}{2×2}$=$\frac{a}{4}$，
若且-1≤$\frac{a}{4}$≤2，可得-4≤a≤8．
綜上可得，1≤a≤8，
故實a的取值范圍為[1，8]，
故答案為：[1，8]

點評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，根據(jù)絕對值的意義轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，利用一元二次函數(shù)和一元二次不等式之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，難度較大．