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6.已知雙曲線C以F1(-2,0)、F2(2,0)為焦點,且過點P(7,12).
(1)求雙曲線C與其漸近線的方程;
(2)若斜率為1的直線l與雙曲線C相交于A,B兩點,且OAOB(O為坐標原點).求直線l的方程.

分析 (1)設出雙曲線C方程,利用已知條件求出c,a,解得b,即可求出雙曲線方程與漸近線的方程;
(2)設直線l的方程為y=x+t,將其代入方程x2y23=1,通過△>0,求出t的范圍,設A(x1,y1),B(x2,y2),利用韋達定理,通過x1x2+y1y2=0,求解t即可得到直線方程.

解答 解:(1)設雙曲線C的方程為x2a2y2b2=1a0b0,半焦距為c,
則c=2,2a=||PF1||PF2||=|92+12252+122|=2,a=1,…(2分)
所以b2=c2-a2=3,
故雙曲線C的方程為x2y23=1.            …(4分)
雙曲線C的漸近線方程為y=±3x.           …(6分)
(2)設直線l的方程為y=x+t,將其代入方程x2y23=1,
可得2x2-2tx-t2-3=0(*)                  …(8分)
△=4t2+8(t2+3)=12t2+24>0,若設A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1,x2是方程(*)的兩個根,所以x1+x2=tx1x2=t2+32
又由OAOB,可知x1x2+y1y2=0,…(11分)
即x1x2+(x1+t)(x2+t)=0,可得2x1x2+tx1+x2+t2=0
故-(t2+3)+t2+t2=0,解得t=±3
所以直線l方程為y=x±3.               …(14分)

點評 本題考查雙曲線的方程的求法,雙曲線的簡單性質的應用,直線與雙曲線的位置關系的綜合應用,考查計算能力.

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