分析 (1)設出雙曲線C方程,利用已知條件求出c,a,解得b,即可求出雙曲線方程與漸近線的方程;
(2)設直線l的方程為y=x+t,將其代入方程x2−y23=1,通過△>0,求出t的范圍,設A(x1,y1),B(x2,y2),利用韋達定理,通過x1x2+y1y2=0,求解t即可得到直線方程.
解答 解:(1)設雙曲線C的方程為x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),半焦距為c,
則c=2,2a=||PF1|−|PF2||=|√92+122−√52+122|=2,a=1,…(2分)
所以b2=c2-a2=3,
故雙曲線C的方程為x2−y23=1. …(4分)
雙曲線C的漸近線方程為y=±√3x. …(6分)
(2)設直線l的方程為y=x+t,將其代入方程x2−y23=1,
可得2x2-2tx-t2-3=0(*) …(8分)
△=4t2+8(t2+3)=12t2+24>0,若設A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1,x2是方程(*)的兩個根,所以x1+x2=t,x1x2=−t2+32,
又由→OA⊥→OB,可知x1x2+y1y2=0,…(11分)
即x1x2+(x1+t)(x2+t)=0,可得2x1x2+t(x1+x2)+t2=0,
故-(t2+3)+t2+t2=0,解得t=±√3,
所以直線l方程為y=x±√3. …(14分)
點評 本題考查雙曲線的方程的求法,雙曲線的簡單性質的應用,直線與雙曲線的位置關系的綜合應用,考查計算能力.
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A. | 0 | B. | \frac{3}{π} | C. | \frac{2}{π} | D. | -\frac{3}{π} |
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A. | \frac{7}{3} | B. | \frac{5}{3} | C. | 5 | D. | 3 |
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A. | 充分不必要條件 | B. | 必要不充分條件 | ||
C. | 充要條件 | D. | 既不充分也不必要條件 |
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