Question

6．已知雙曲線C以F₁（-2，0）、F₂（2，0）為焦點，且過點P（7，12）．
（1）求雙曲線C與其漸近線的方程；
（2）若斜率為1的直線l與雙曲線C相交于A，B兩點，且$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$（O為坐標原點）．求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出雙曲線C方程，利用已知條件求出c，a，解得b，即可求出雙曲線方程與漸近線的方程；
（2）設(shè)直線l的方程為y=x+t，將其代入方程${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$，通過△＞0，求出t的范圍，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韋達定理，通過x₁x₂+y₁y₂=0，求解t即可得到直線方程．

解答 解：（1）設(shè)雙曲線C的方程為$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$，半焦距為c，
則c=2，$2a=||P{F_1}|-|P{F_2}||=|\sqrt{{9^2}+{{12}^2}}-\sqrt{{5^2}+{{12}^2}}|=2$，a=1，…（2分）
所以b²=c²-a²=3，
故雙曲線C的方程為${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$．　　　　　　　　　   …（4分）
雙曲線C的漸近線方程為$y=±\sqrt{3}x$．　　　　　　　    …（6分）
（2）設(shè)直線l的方程為y=x+t，將其代入方程${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$，
可得2x²-2tx-t²-3=0（*）                  …（8分）
△=4t²+8（t²+3）=12t²+24＞0，若設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁，x₂是方程（*）的兩個根，所以${x_1}+{x_2}=t，{x_1}{x_2}=-\frac{{{t^2}+3}}{2}$，
又由$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，可知x₁x₂+y₁y₂=0，…（11分）
即x₁x₂+（x₁+t）（x₂+t）=0，可得$2{x_1}{x_2}+t（{x_1}+{x_2}）+{t^2}=0$，
故-（t²+3）+t²+t²=0，解得$t=±\sqrt{3}$，
所以直線l方程為$y=x±\sqrt{3}$．　　　　　   　　 　　 　…（14分）

點評 本題考查雙曲線的方程的求法，雙曲線的簡單性質(zhì)的應用，直線與雙曲線的位置關(guān)系的綜合應用，考查計算能力．