Question

19．如圖，圓C與x軸相切于點T（1，0），與y軸正半軸交于兩點A，B（B在A的上方），且|AB|=2．
（1）圓C的標準方程為（x-1）²+（y-$\sqrt{2}$）²=2；
（2）過點A任作一條直線與圓O：x²+y²=1相交于M，N兩點，下列三個結(jié)論：
①$\frac{|NA|}{|NB|}$=$\frac{|MA|}{|MB|}$；  ②$\frac{|NB|}{|NA|}$-$\frac{|MA|}{|MB|}$=2；  ③$\frac{|NB|}{|NA|}$+$\frac{|MA|}{|MB|}$=2$\sqrt{2}$．
其中正確結(jié)論的序號是①②③．（寫出所有正確結(jié)論的序號）

Answer 1

分析 （1）取AB的中點E，通過圓C與x軸相切于點T，利用弦心距、半徑與半弦長之間的關系，計算即可；
（2）設M（cosα，sinα），N（cosβ，sinβ），計算出$\frac{|MA|}{|MB|}$、$\frac{|NA|}{|NB|}$、$\frac{|NB|}{|NA|}$的值即可．

解答 解：（1）∵圓C與x軸相切于點T（1，0），
∴圓心的橫坐標x=1，取AB的中點E，
∵|AB|=2，∴|BE|=1，
則|BC|=$\sqrt{2}$，即圓的半徑r=|BC|=$\sqrt{2}$，
∴圓心C（1，$\sqrt{2}$），
則圓的標準方程為（x-1）²+（y-$\sqrt{2}$）²=2，
故答案為：（x-1）²+（y-$\sqrt{2}$）²=2．
（2）∵圓心C（1，$\sqrt{2}$），∴E（0，$\sqrt{2}$），
又∵|AB|=2，且E為AB中點，
∴A（0，$\sqrt{2}$-1），B（0，$\sqrt{2}$+1），
∵M、N在圓O：x²+y²=1上，
∴可設M（cosα，sinα），N（cosβ，sinβ），
∴|NA|=$\sqrt{（cosβ-0）^{2}+[sinβ-（\sqrt{2}-1{）]}^{2}}$
=$\sqrt{co{s}^{2}β+si{n}^{2}β-2（\sqrt{2}-1）sinβ+3-2\sqrt{2}}$
=$\sqrt{4-2\sqrt{2}-2（\sqrt{2}-1）sinβ}$
=$\sqrt{2\sqrt{2}（\sqrt{2}-1）-2（\sqrt{2}-1）sinβ}$
=$\sqrt{2（\sqrt{2}-1）（\sqrt{2}-sinβ）}$，
|NB|=$\sqrt{（cosβ-0）^{2}+[sinβ-（\sqrt{2}+1）]^{2}}$
=$\sqrt{co{s}^{2}β+si{n}^{2}β-2（\sqrt{2}+1）sinβ+3+2\sqrt{2}}$
=$\sqrt{4+2\sqrt{2}-2（\sqrt{2}+1）sinβ}$
=$\sqrt{2（\sqrt{2}+1）（\sqrt{2}-sinβ）}$，
∴$\frac{|NA|}{|NB|}$=$\sqrt{\frac{2（\sqrt{2}-1）（\sqrt{2}-sinβ）}{2（\sqrt{2}+1）（\sqrt{2}-sinβ）}}$=$\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}}$=$\sqrt{2}-1$，
同理可得$\frac{|MA|}{|MB|}$=$\sqrt{2}-1$，
∴$\frac{|NA|}{|NB|}$=$\frac{|MA|}{|MB|}$，①成立，
$\frac{|NB|}{|NA|}$-$\frac{|MA|}{|MB|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$-（$\sqrt{2}-1$）=2，②正確．
$\frac{|NB|}{|NA|}$+$\frac{|MA|}{|MB|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$+（$\sqrt{2}-1$）=$2\sqrt{2}$，③正確．
故答案為：①②③．

點評 本題考查求圓的標準方程，用三角函數(shù)值表示單位圓上點的坐標是解決本題的關鍵，注意解題方法的積累，屬于難題．