Question

5．已知直線l與圓錐曲線C相交于兩點A，B，與x軸，y軸分別交于D、E兩點，且滿足$\overrightarrow{EA}={λ_1}\overrightarrow{AD}$ $\overrightarrow{EB}={λ_2}\overrightarrow{BD}$
（1）已知直線l的方程為y=2x-4，拋物線C的方程為y²=4x，求λ₁+λ₂的值；
（2）已知直線l：x=my+1（m＞1），橢圓C：$\frac{x^2}{2}+{y^2}$=1，求$\frac{1}{λ_1}+\frac{1}{λ_2}$的取值范圍；
（3）已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{3}-{y}^{2}=1，{λ}_{1}+{λ}_{2}=6$，求點D的坐標．

Answer 1

分析 （1）通過直線l的方程可得D、E坐標，將y=2x-4代入y²=4x可得點A、B坐標，利用$\overrightarrow{EA}={λ_1}\overrightarrow{AD}$、$\overrightarrow{EB}={λ_2}\overrightarrow{BD}$，計算即可；
（2）通過聯(lián)立x=my+1（m＞1）與$\frac{x^2}{2}+{y^2}$=1，利用韋達定理、$\overrightarrow{EA}={λ_1}\overrightarrow{AD}$、$\overrightarrow{EB}={λ_2}\overrightarrow{BD}$，計算即得結(jié)論；
（3）通過設(shè)直線l的方程并與雙曲線C方程聯(lián)立，利用韋達定理、$\overrightarrow{EA}={λ_1}\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{EB}={λ_2}\overrightarrow{BD}$，計算即可．

解答 解：（1）將y=2x-4代入y²=4x，求得點A（1，-2），B（4，4），
又∵D（2，0），E（0，-4），且$\overrightarrow{EA}={λ_1}\overrightarrow{AD}$，
∴（1，2）=λ₁（1，2）=（λ₁，2λ₁），即λ₁=1，
同理由$\overrightarrow{EB}={λ_2}\overrightarrow{BD}$，可得λ₂=-2，
∴λ₁+λ₂=-1；
（2）聯(lián)立x=my+1（m＞1）與$\frac{x^2}{2}+{y^2}$=1，
消去x可得：（2+m²）y²+2my-1=0，
由韋達定理可得：y₁+y₂=-$\frac{2m}{2+{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{1}{2+{m}^{2}}$，
∵D（1，0），E（0，-$\frac{1}{m}$），且$\overrightarrow{EA}={λ_1}\overrightarrow{AD}$，
∴y₁+$\frac{1}{m}$=-λ₁y₁，∴λ₁=-（1+$\frac{1}{m}•\frac{1}{{y}_{1}}$），
同理由$\overrightarrow{EB}={λ_2}\overrightarrow{BD}$，可得y₂+$\frac{1}{m}$=-λ₂y₂，∴λ₂=-（1+$\frac{1}{m}•\frac{1}{{y}_{2}}$），
∴λ₁+λ₂=-（1+$\frac{1}{m}•\frac{1}{{y}_{1}}$）-（1+$\frac{1}{m}•\frac{1}{{y}_{2}}$）=-2-$\frac{1}{m}•\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{y}_{1}{y}_{2}}$=-2-$\frac{1}{m}•2m$=-4，
∴$\frac{1}{λ_1}+\frac{1}{λ_2}$=-$\frac{4}{{λ}_{1}{λ}_{2}}$=$\frac{4}{{{λ}_{1}}^{2}+4{λ}_{1}}$=$\frac{4}{（2+{λ}_{2}）^{2}-4}$，
∵m＞1，∴點A在橢圓上位于第三象限的部分上運動，
由分點的性質(zhì)可得λ₁∈（$\sqrt{2}-2$，0），
∴$\frac{1}{λ_1}+\frac{1}{λ_2}$∈（-∞，-2）；
（3）設(shè)直線l的方程為：x=my+t，代入雙曲線C方程，
消去x得：（-3+m²）y²+2mty+（t²-3）=0，
由韋達定理可得：y₁+y₂=-$\frac{2mt}{{m}^{2}-3}$，y₁y₂=-$\frac{{t}^{2}-3}{{m}^{2}-3}$，∴$\frac{1}{{y}_{1}}$+$\frac{1}{{y}_{2}}$=-$\frac{2mt}{{t}^{2}-3}$，
由$\overrightarrow{EA}={λ_1}\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{EB}={λ_2}\overrightarrow{BD}$可得：-（λ₁+λ₂）=2+$\frac{t}{m}$•（$\frac{1}{{y}_{1}}$+$\frac{1}{{y}_{2}}$），
∵λ₁+λ₂=6，∴2+$\frac{t}{m}$•（-$\frac{2mt}{{t}^{2}-3}$）=-6，解得t=±2，
∴點D（±2，0）；
當直線l與x軸重合時，λ₁=-$\frac{a}{t+a}$，λ₂=$\frac{a}{t-a}$或者λ₁=$\frac{a}{t-a}$，λ₂=-$\frac{a}{t+a}$，
∴都有λ₁+λ₂=$\frac{2{a}^{2}}{{t}^{2}-{a}^{2}}$=6也滿足要求，
∴在x軸上存在定點D（±2，0）．

點評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．