Question

已知函數(shù)f(n)=

-n2，n=2k(k∈Z) n2，n=2k-1(k∈Z)

，a_n=f（n）+f（n+1），則a₁+a₂+…+a₁₀₀=

 

．

Answer 1

分析：對通項a_n=f（n）+f（n+1）研究發(fā)現(xiàn)：當n為奇數(shù)時，a_n=n²-（n+1）²=-2n-1，所有的奇數(shù)項組成一個首項為-3，公差為-2，項數(shù)為50的等差數(shù)列；當n為偶數(shù)時a_n=-n²+（n+1）²=2n+1，故所有的偶數(shù)項組成一個首項為5，公差為2，項數(shù)為50的等差數(shù)列，將奇數(shù)項與偶數(shù)項分別求和，然后再相加求數(shù)列前100項的和．

解答：解：當n為奇數(shù)時，a_n=n²-（n+1）²=-2n-1，
當n為偶數(shù)時a_n=-n²+（n+1）²=2n+1，
故所有的奇數(shù)項組成一個首項為-3，公差為-2，項數(shù)為50的等差數(shù)列；
所有的偶數(shù)項組成一個首項為5，公差為2，項數(shù)為50的等差數(shù)列．
由等差數(shù)列的前n項和公式Sn=（a₁-

d

2

）×n+

d

2

n²得S_奇=（-3+1）×50-50²=-350；
S_偶=（5-1）×50+50²=450
所以S₁₀₀=S_偶+S_奇=450-350=100
故應(yīng)填100

點評：本題是技巧型與能力型題，需要對數(shù)列形式進行研究，根據(jù)數(shù)列的特征來選擇解題的方法，這是本題的特點．