Question

16．如圖，過拋物線C₁：y=$\frac{1}{4}$x²-2的頂點A作兩條斜率之積為-$\frac{1}{4}$的直線，與拋物線交于另兩點P、Q直線（PQ不與x軸垂直）與橢圓C₂：$\frac{{y}^{2}}{4}$+x²=1相交于點M、N．
（1）若直線PQ與y軸交于點T（0，t），求t的值；
（2）若直線PQ，AM，AN的斜率分別為k，k₁，k₂，且k＞0，求$\frac{1}{k}$-$\frac{1}{{k}_{1}}$-$\frac{1}{{k}_{2}}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）A（0，-2），設直線AP的斜率為k≠0，則直線AQ的斜率為：-$\frac{1}{4k}$．可得直線AP，AQ的方程分別為：y=kx-2，y=-$\frac{1}{4k}$x-2，分別與拋物線方程聯立可得P，Q的坐標，利用點斜式可得直線PQ的方程，令x=0，即可解出t．
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直線PQ的方程為：y=kx-1，與橢圓方程聯立化為（4+k²）x²-2kx-3=0，可得根與系數的關系，利用斜率計算公式可得：k_AM=$\frac{{y}_{1+2}}{{x}_{1}}$=$\frac{k{x}_{1}+1}{{x}_{1}}$=k₁，k_AN=$\frac{k{x}_{2}+1}{{x}_{2}}$=k₂．代入$\frac{1}{k}$-$\frac{1}{{k}_{1}}$-$\frac{1}{{k}_{2}}$=$\frac{1}{k}$-$\frac{{x}_{1}}{k{x}_{1}+1}$-$\frac{{x}_{2}}{k{x}_{2}+1}$，化簡整理再利用基本不等式的性質即可得出．

解答 解：（1）A（0，-2），設直線AP的斜率為k≠0，則直線AQ的斜率為：-$\frac{1}{4k}$．
可得直線AP，AQ的方程分別為：y=kx-2，y=-$\frac{1}{4k}$x-2，
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-2}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4k}\\{y=4{k}^{2}-2}\end{array}\right.$，∴P（4k，4k²-2）．
同理可得Q$（-\frac{1}{k}，\frac{1}{4{k}^{2}}-2）$．
∴直線PQ的方程為：$y-（4{k}^{2}-2）=\frac{4{k}^{2}-2-（\frac{1}{4{k}^{2}}-2）}{4k+\frac{1}{k}}$（x-4k），
令x=0，化為y+2=1，解得y=-1，
∴t=-1，∴直線PQ與y軸交于點T（0，-1）．
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直線PQ的方程為：y=kx-1，
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{\frac{{y}^{2}}{4}+{x}^{2}=1}\end{array}\right.$，化為（4+k²）x²-2kx-3=0，
∴x₁+x₂=$\frac{2k}{4+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{-3}{4+{k}^{2}}$．
k_AM=$\frac{{y}_{1+2}}{{x}_{1}}$=$\frac{k{x}_{1}+1}{{x}_{1}}$=k₁，k_AN=$\frac{k{x}_{2}+1}{{x}_{2}}$=k₂．
∵k＞0，
∴$\frac{1}{k}$-$\frac{1}{{k}_{1}}$-$\frac{1}{{k}_{2}}$=$\frac{1}{k}$-$\frac{{x}_{1}}{k{x}_{1}+1}$-$\frac{{x}_{2}}{k{x}_{2}+1}$=$\frac{1}{k}$-$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}+（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+k（{x}_{1}+{x}_{2}）+1}$=$\frac{1}{k}$+k≥2，當且僅當k=1時，取等號．
∴$\frac{1}{k}$-$\frac{1}{{k}_{1}}$-$\frac{1}{{k}_{2}}$的最小值為2．

點評 本題考查了拋物線標準方程及其性質、直線與拋物線相交轉化為方程聯立可得可得根與系數的關系、斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．