Question

已知三棱錐A-BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M為AB的中點，D為PB的中點，且△PMB為正三角形．
（1）求證：BC⊥平面APC；
（2）若BC=3，AB=10，求三棱錐B-MDC的體積V_B-MDC．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定

專題：計算題,證明題

分析：（1）運用等邊三角形的性質(zhì)和中位線定理，證得AP⊥平面PBC，再由線面垂直的性質(zhì)得，AP⊥BC，結(jié)合條件AC⊥BC，即可得證；
（2）運用V_M-BCD=V_B-MDC．由棱錐的體積公式，計算三角形BCD的面積和MD，即可得到．

解答： （1）證明：∵△PMB為正三角形，
且D為PB的中點，∴MD⊥PB．
又∵M為AB的中點，D為PB的中點，
∴MD∥AP，∴AP⊥PB．
又已知AP⊥PC，∴AP⊥平面PBC，
∴AP⊥BC，又∵AC⊥BC，AC∩AP=A，
∴BC⊥平面APC；
（2）解：有V_M-BCD=V_B-MDC．
∵AB=10，∴MB=PB=5，
又BC=3，BC⊥PC，∴PC=4，
∴S△BDC=

1

2

S△PBC=

1

4

PC•BC=3．
又MD=

5 3

2

，∴VM-BCD=

1

3

MD•S△BDC=

5 3

2

．

點評：本題考查線面垂直的判定和性質(zhì)，注意兩個定理的運用，同時考查三棱錐的體積公式，注意頂點轉(zhuǎn)換法的運用，考查運算能力，屬于中檔題．